Модели усеченных выборок
Предположим, усеченное распределение является частью неусеченного распределения, которая находится выше или ниже определенного порогового значения.
Плотность непрерывной случайной переменной z, усеченной выше уровня b, определяется согласно следующему выражению:
Выражение (10.136) вытекает, из формулы условной вероятности. В самом деле, условная вероятность того, что случайная величина z примет некоторое значение при условии, что z< b, определяется следующим образом:
òò/ò
Продифференцировав левую и правую части выражения (10.137) по z, получим (10.136).
Во многих практических исследованиях предполагается, что случайная величина z распределена по нормальному закону. В этом случае вероятность того, что z>b определяется согласно следующему выражению:
 |
где m и s – соответственно математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины z; b=(b–m)/s; Ф(.) – значение стандартной нормальной интегральной функции распределения в соответствующей точке.
Тогда согласно выражению (10.136), функция плотности усеченного нормального распределения определяется как:
где j(.) – стандартная нормальная функция распределения.
На рис. 10.6 представлены графики функций плотностей усеченного стандартного нормального распределения с m=0 и s=1 для b=–0,5; 0; 0,5. Из графиков, представленных на этом рисунке следует, что усечение как бы “поднимает” функцию плотности на оставшемся после усечения участке над графиком этой функции “неусеченного” распределения.
В дальнейшем случайную переменную с усеченным распределением будем называть усеченной случайной переменной.
Заметим, что математическое ожидание и дисперсия усеченной случайной переменной определяются согласно следующим выражениям:
M[z|z>b]=ò
D[z|z>b]=ò
Проведя интегрирование в выражениях (10.140)–(10.141) с учетом того, что функция плотности f(z, z>b) определена выражением (10.139), получим, что математическое ожидание и дисперсия усеченной случайной переменной z соответственно равны:
M[z|при усечении]=m+s×l(b). (10.142)
D[z|при усечении]=s 2×[1–d(b)]. (10.143)
где b=(b–m)/s;
l(b)=j(b)/[1–F(b)], если z>b; (10.144)
l(b)=–j(b)/F(b), если z<b; (10.145)
d(b)=l(b)×[l(b)–b]. (10.146)
|
|