Методы оценки параметров, основанные на линейной аппроксимации модели

В основе этой группы методов лежит идея представления нелинейного функционала эконометрической модели f(a, x) в произвольной точке a⁽⁰⁾ в виде линейной аппроксимирующей функции, например, ряда Тейлора. Это даст возможность определить в некотором смысле оптимальные приросты оценок параметров Da_i⁽¹⁾, минимизирующие функцию суммы квадратов ошибки S² (выражение (11.7)) в окрестности точки a⁽⁰⁾. При этом, поскольку ряд Тейлора не является точной аппроксимацией функционала модели f(a, x), то новые значения оценок ее параметров, определяемые по очевидной формуле a_i⁽¹⁾=a_i⁽⁰⁾+Da_i⁽¹⁾, i=0,1,...,п, могут не совпасть с наилучшими оценками. В таком случае необходимо аппроксимировать модель в точке a ⁽¹⁾ и определить новые приросты параметров Da_i⁽²⁾ и соответствующие им оценки a_i⁽²⁾ и т. д. Таким образом, формируется итеративная процедура последовательного приближения к искомым “оптимальным” оценкам a_i, которым соответствует локальный оптимум суммы квадратов ошибки в некоторой области существования значений параметров модели.

Нахождение оценок параметров модели, соответствующих глобальному минимуму, может быть осуществлено с использование такого же подхода, как и в методе прямого поиска, т. е. путем перебора различающихся вариантов исходных оценок параметров a_i⁽⁰⁾, выбираемых из различных участков допустимой области их существования.

В практике оценивания параметров нелинейных эконометрических моделей наибольшее распространение получил метод, известный в научной литературе как метод Гаусса-Зайделя. Для него характерны следующие этапы расчетов.

1. Нелинейный функционал f_t(a, x) в момент времени t и в точке оценок параметров a⁰ в соответствии с аппроксимирующей функцией Тейлора представляется в следующем виде:

 

 

где f_t⁰= f_t(a⁰, x) – значение функционала в начальной точке оценок параметров a⁰=(a₀⁰ , a₁⁰ ,..., a_п⁰); – расчетное значение производной функционала модели по параметру a_i в точке a_i ⁰.

На практике значения этих производных определяются на основе частных разностей:

 

 

 

где Ja_i ⁰ – малое приращение оценки параметра a_i ⁰.

Таким образом, значения функции f_t⁰ и ее производных в точке значений параметров a_i ⁰ являются известными.

Подставим выражение (11.17) в формулу (11.12). Получим

 

где Da_i⁽¹⁾=a_i⁽¹⁾–a_i⁽⁰⁾; a_i⁽¹⁾ – оценка параметра a_i на первом шаге расчетов.

2. Расчетные значения оценок a_i⁽¹⁾, i=0,1,...,п можно получить, приравняв нулю первые производные функции S² по приростам Da_i. В результате получим систему уравнений, аналогичных нормальным уравнениям классического метода наименьших квадратов:

 

 

Обозначив у_t–f_t⁰=g_t⁰, сформируем вектор-столбец g⁰=(g₁⁰,...,g_Е⁰)¢ с Т компонентами. Из производных сформируем матрицу следующего вида:

 

 

размера T´(п+1).

Из приростов Da_i⁽¹⁾ сформируем вектор-столбец Da⁽¹⁾=(Da₀⁽¹⁾,..., Da_п⁽¹⁾)¢.

Несложно заметить, что с учетом этих обозначений систему (11.20) можно представить в следующем виде:

 

Из (11.22), в сою очередь, вытекает, что оценки приростов параметров Da⁽¹⁾ на первом шаге расчетов находятся из векторно-матричного выражения, имеющего характерный вид:

 

3. Определив на основе полученных приростов Da_i⁽¹⁾, i=0,1,...,п оценки параметров эконометрической модели a_i¹=a_i⁰+Da_i¹, проделаем ту же процедуру расчетов для получения новых приближений этих оценок. Заметим, что различные модификации метода Гаусса-Зайделя допускают расчет новых значений оценок на основе следующего выражения:

 

a_i^(j)=a_i^{(j –1)}+h_i^(j)×Da_i^(j), (11.24)

 

где h_i^(j) – так называемый “ускоряющий” множитель, вводимый для сокращения числа шагов при поиске минимума функции S² по параметрам эконометрической модели.

Его значение выбирается с учетом величины угла наклона функции S² в точке a_i^j. В области минимума функции S²(a_i) длину шага уменьшают, чтобы получить “наилучшую” оценку параметров.