Методы оценки дисперсии прогноза при детерминированном прогнозном фоне

Рассмотрим, не прибегая к излишней математической строгости, сначала общий подход к оценке дисперсии прогноза . Без ограничения общности предположим, что прогнозы получены с использованием линейной эконометрической модели, ошибка которой характеризуется отсутствием автокорреляционных связей.

В соответствии с процедурой разработки эконометрического прогноза, рассматриваемое прогнозное значение зависимой переменной у, например, в момент времени Т+1, можно представить как случайную величину, определяемую по линейной модели типа (1.2) с учетом того факта, что ее параметры являются случайными величинами, а значения независимых факторов х_{i, T+1}, i=1,2,..., n; – детерминированные величины:

 

где a_i, i=0,1,..., n – коэффициенты эконометрической модели, рассматриваемые как случайные величины; e_T+1 – случайная ошибка модели в момент Т+1. Представим коэффициенты модели a_i в виде суммы их соответствующих оценок, являющихся математическими ожиданиями, и ошибок

 

где математическое ожидание а_i определено согласно используемому методу, например, МНК (см. выражение (2.8)), а характеристики ошибок Dа_i определены как элементы вектора Dа=(X¢X)^-1X¢×e (см. выражение (2.9)).

Подставим выражение (12.9) в (12.8). В результате получим

 

 

где показатель

 

 

представляет собой математическое ожидание прогноза, а показатель

 

характеризует ошибку прогноза.

Ее дисперсия может быть определена согласно классическому выражению в предположении о независимости ошибки модели e_T+1 и ошибок коэффициентов модели Dа_i, i=0,1,..., n; следующим образом:

 

где s_e² – оценка дисперсии ошибки модели – дисперсия оценки а_i, а cov(а_i, а_j) – ковариация оценок параметров а_i и а_j. Их значения определены как элементы ковариационной матрицы s_e²×(Х¢×Х)^–1; х_0,T+1 º1 (см. выражение (2.18)).

Еще раз отметим, что выражение (12.13) получено в предположении о независимости ошибки модели e_T+1 в момент Т+1 и ошибок коэффициентов Dа_i, которые согласно выражению (2.9) являются линейными функциями выборочных ошибок модели e_t, t=1, 2,..., Т.

Выражение (12.13) может быть представлено в матричной форме записи следующим образом:

 

 

где х_T+1¢=(1, х_1,T+1,..., х_n,T+1) – вектор-строка детерминированных уровней прогнозного фона, представляющего собой набор значений независимых факторов в моменты Т+1.

Приведем также несколько более строгое доказательство выражения (12.14). Для этого запишем расчетное значение прогноза в векторной форме:

 

 

Аналогично представим истинное значение прогноза у_T+1

 

где a – вектор-столбец значений параметров модели; e_T+1 – значение ошибки истинного прогноза.

С учетом представленных выражений ошибку прогноза согласно (12.6) выразим в следующем виде:

 

D у_T+1=у_T+1–=e_T+1+х_T+1¢×a–х_T+1¢×a=

=e_T+1+х_T+1¢×a–х_T+1¢×(X¢×X)^–1× X¢×y. (12.17)

 

Подставляя в (12.17) вместо вектора наблюдаемых значений зависимой переменной y его выражение y=X×a+e, получим

 

D у_Т+1=e_T+1+х_T+1¢×a–х_T+1¢×(X¢×X)^–1× X¢×(X×a+e)=

=e_T+1+х_T+1¢×a– х_T+1¢×a– х_T+1¢×(X¢×X)^–1× X¢×e=

=e_T+1– х_T+1¢×(X¢×X)^–1× X¢×e. (12.18)

 

С учетом (12.18) дисперсия ошибки прогноза определяется следующим выражением:

 

s²()=M[Dy²_T+1] = M[e²_T+1]–2× х_T+1¢×(X¢×X)^–1× X¢×M[e_T+1×e]+

+ х_T+1¢×(X¢×X)^–1× X¢×M[e×e¢]×X×(X¢×X)^–1×х_T+1. (12.19)

 

При справедливости предположений о независимости ошибки e_T+1 и вектора ошибок модели e, гомоскедастичности и отсутствии автокорреляционных связей у вектора ошибки модели e имеем

 

M[e_T+1×e]=0;

M[e×e¢]=s_e²×E.

 

В этом случае с учетом того, что M[e²_T+1]=s_e² легко показать, что выражение (12.19) преобразуется в выражение (12.14), с учетом замены s_e² на s_e².

Заметим, что выражение (12.19) определяет все случаи, отражающие возможные свойства ошибки эконометрической модели. В частности, когда у этой ошибки имеются автокорреляционные связи, например, первого порядка, т. е. e_t=r×e_t–1 +v_t, v_t ~N(0, s_v²), Cov(v)=s_v²×E выражение (12.19) приобретает следующий вид:

 

s²()=s_e²–2×s_e²×х_T+1¢×(X¢×X)^–1×X¢×R+

+х_T+1¢×(X¢×X)^–1×X¢× Cov(e)×X×(X¢×X)^–1×х_T+1, (12.20)

 

где вектор-столбец R=[r, r², r³,..., r^T+1]¢;

 

 

где r – коэффициент автокорреляции первого порядка.

Заметим также, что для такой модели математическое ожидание прогноза =M[y_T+1] имеет следующий вид:

 

M[y_T+1]= M[х_T+1¢×a+e_T+1]= M[х_T+1¢×a+r×e_T +v_T]= х_T+1¢×a+r×e_T. (12.21)

 

Выражая ошибку модели в момент Т e_T через ее оценку е_T

 

e_T =е_T – х_T¢×а (12.22)

 

и подставляя выражение (12.22) в (12.21), с учетом замены коэффициента r на его выборочное значение r и вектора a на вектор a на практике получим

= r× y_T+(х_T+1¢– х_T¢)×a. (12.23)

 

Несложно показать, что в этом случае расчетное значение прогноза в момент Т+k будет определяться следующим выражением:

 

=х_T+k¢×a+ r^k×e_T. (12.24)

 

При наличии у ошибки модели только свойства гетероскедастичности выражение (12.19) приобретает следующий вид:

 

s²()=s_e²+х_T+1¢×(X¢×X)^–1× X¢×Cov(e)×X×(X¢×X)^–1×х_T+1, (12.25)

 

где

 

 

а s_t² – дисперсия ошибки модели в момент t.