Примеры моделей. Построение прогнозной процедуры и проблема верификации прогноза. Оценка точности прогноза. Доверительный интервал прогноза. Интерпретация параметров модели. Методы оценки доверительного интервала прогноза в моделях с детерминированными и случайными параметрами. Анализ реальных процессов с использованием коэффициентов эластичности.
3.Перечень примерных контрольных вопросов для самостоятельной работы.
· Как выглядят линейная и степенная эконометрическая модели?
· Как экономически трактуются параметры линейной модели?
· Как экономически трактуются параметры степенной модели?
· Для чего используются стандартизованные коэффициенты уравнения регрессии?
· Перечислите свойства оценок коэффициентов классической модели.
· Как проверить статистическую значимость коэффициента уравнения регрессии?
· Как проверить статистическую значимость уравнения в целом?
· Каким образом осуществляется проверка эконометрической модели на автокорреляцию остатков?
· Каким образом осуществляется проверка эконометрической модели на гомоскедастичность?
· Каковы последствия применения одношагового метода наименьших квадратов в обобщенной модели?
· Какие преобразования исходных данных нужно провести в случае обнаружения автокорреляции остатков?
· Какие преобразования исходных данных нужно провести в случае обнаружения гетероскедастичности?
· В каком случае целесообразно использовать метод главных компонент?
· Каковы недостатки метода главных компонент?
· Какие характеристики временных рядов вы знаете?
· Что такое стационарный процесс?
Как выглядит автокорреляционная функция для моделей авторегрессии, скользящего среднего и авторегрессии-скользящего среднего?
· Что собой представляет рекурсивная модель?
· Что собой представляет взаимозависимая система уравнений?
· Каковы последствия применения одношагового МНК для оценки параметров взаимозависимой системы?
Перечислите гипотезы случайного блуждания.
· Каким образом можно проверить гипотезу о переменной структуре модели?
Что собой представляют Progit-, Logit- и Tobit-модели?
· Назовите наиболее часто используемые в эконометрике нелинейные модели?
· Каким образом строится точечный прогноз результирующего показателя по эконометрической модели?
4.Примерная тематика рефератов
· Принципы построения и использования эконометрических моделей и методов в экономических исследованиях.
· Исходные предпосылки эконометричеcкого моделирования.
· Предпосылки классической регрессионной модели.
· Классический метод наименьших квадратов.
· Свойства оценок параметров модели, полученных классическим МНК.
· Процедуры отбора факторов эконометрических моделей (на примерах).
· Критерии качества эконометрических моделей (иллюстрация использования).
· Эконометрические модели с лаговыми переменными (примеры применения).
· Проблемы оценки параметров в моделях с лаговыми переменными.
· Двухшаговый МНК. Примеры использования в моделях с лаговыми переменными.
· Предпосылки использования метода главных компонент в экономических исследованиях.
· Применение метода главных компонент в моделях рыночной конъюнктуры.
· Гипотезы финансовой эконометрики.
· Модели финансовых процессов с изменяющейся вариацией (примеры использования).
· Модели временных рядов финансовых показателей с нелинейными структурами (примеры использования).
· Системы взаимозависимых уравнений как эконометрические модели (примеры использования).
· Методы оценки параметров взаимозависимых уравнений.
· Примеры использования рекурсивных и блочно-рекурсивных моделей в экономических исследованиях.
· Одношаговый и двухшаговый МНК в оценке параметров системы взаимозависимых уравнений (иллюстрация применения).
· Модели с переменной структурой: причины изменчивости и способы ее отображения в модели.
· Приемы обнаружения изменчивости структуры модели (на примерах).
· Модели с переключениями. Примеры использования.
· Модели с эволюционирующими коэффициентами (иллюстрация применения).
· Модели с дискретными зависимыми переменными. Примеры использования.
· Процедура прогнозирования на основе эконометрической модели (на примерах).
· Проблемы верификации прогноза.
· Точный и приближенный методы построения доверительных интервалов прогноза (примеры расчетов).
· Математическое обеспечение эконометрических моделей.
5.Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу
· Каков экономический смысл коэффициента линейной эконометрической модели?
· Что показывает коэффициент эластичности?
· Что показывает стандартизованный коэффициент уравнения регрессии?
· Перечислите предпосылки классического уравнения регрессии.
· Что такое “несмещенная оценка коэффициента уравнения регрессии”?
· Что такое “эффективная оценка коэффициента уравнения регрессии”?
· Что такое “состоятельная оценка коэффициента уравнения регрессии”?
· Для чего в эконометрике используется критерий Стьюдента?
· Что такое “статистически значимый коэффициент уравнения регрессии”?
· Что показывает критерий Фишера?
· Для чего в эконометрике используется критерий Дарбина-Уотсона?
· Что показывает коэффициент детерминации?
· В каких случаях целесообразно применять обобщенный метод наименьших квадратов?
· Какое преобразование исходных данных нужно провести в случае обнаружения авторегрессии первого порядка у возмущающих переменных?
· Какой критерий применяется для диагностики на гетероскедастичность (непостоянство дисперсии)?
· Какая предпосылка классической регрессионной модели нарушается у модели с лаговыми переменными?
· Каковы последствия включения в модель лаговых переменных?
· Что представляют собой главные компоненты?
· Что показывает первая главная компонента?
· Что представляют собой коэффициенты при факторах в выражениях главных компонент?
· Какой метод целесообразно применять для оценки коэффициентов модели с главными компонентами?
· Каковы недостатки метода главных компонент?
· Какой вид имеет уравнение авторегрессии первого порядка?
· Какой вид имеет уравнение скользящего среднего?
· Какой вид имеет уравнение авторегрессии-скользящего среднего?
· Что такое “стационарная модель”?
· Перечислите гипотезы финансовой эконометрики.
· Что собой представляют модели финансовых процессов с изменяющейся вариацией.
· Модели временных рядов финансовых показателей с нелинейными структурами.
· Что представляет собой рекурсивная модель?
· Что показывает коэффициент структурной формы системы взаимозависимых уравнений?
· Что показывает коэффициент прогнозной формы системы взаимозависимых уравнений?
· Что представляют собой “модели с переменной структурой”?
· Перечислите типы моделей с переменной структурой.
· Что собой представляют модели с переключениями?
· Что собой представляют модели с эволюционирующими коэффициентами.
· Каким методом можно оценить параметры модели с переменной структурой?
· Особенности оценки параметров нелинейной модели по мето-
ду Гаусса-Зайделя.
· Градиентные методы оценки параметров нелинейной модели и представления целевой функции.
· Как определяется доверительный интервал прогноза?
III.Распределение часов курса по темам и видам работ
| Количество часов | ||||
| № | Тема | Лекции | практиче-ские | Всего |
| I.Проблемы обоснования эконометрической модели. Основные виды эконометрических моделей Методы отбора факторов Качественные характеристики и критерии сопоставления эконометрических моделей | - | |||
| II.Методы оценки параметров линейных эконометрических моделей. | ||||
| Процедура оценивания по МНК Определение параметров однофакторной и двухфакторной линейных эконометрических моделей Метод максимального правдоподобия | - - | |||
| Метод моментов | - | |||
| Критерии адекватности эконометрической модели | ||||
| III.Методы оценки коэффициентов эконометрической модели при коррелирующих или нестационарных ошибках. Обобщенный МНК | ||||
| Модели с коррелирующими ошибками Эконометрические модели с гетероскедастичными ошибками | ||||
| IY.Модели с коррелирующими факторами. Рекурентные методы оценки параметров эконометрической модели Метод главных компонент Модели с лаговыми независимыми переменными | - - | |||
| Y.Модели с лаговыми зависимыми переменными. Проблемы построения модели с лаговыми зависимыми переменными | - | |||
| Методы оценки коэффициентов эконометрической модели, содержащей лаговые зависимые переменные | - | |||
| YI.Линейные модели временных рядов. | ||||
| Стационарные временные ряды Модели авторегрессии Модели скользящего среднего | ||||
| Модели авторегрессии-сколь-зящего среднего Идентификация моделей авторегрессии-скользящего среднего Переход от стационарных моделей к нестационарным. | - | |||
| YII.Модели финансовой эконометрики. Объекты финансовой эконометрики | - | |||
| Гипотезы финансовой эконометрики Модели финансовых процессов с изменяющейся вариацией. Модели временных рядов финансовых показателей с нелинейными структурами. | - - | |||
| YIII.Системы взаимозависимых эконометрических моделей. Проблемы идентификации Ограничения на структурные переменные | - | |||
| Ограничения на дисперсии и ковариации Рекурсивные системы | - - | |||
| IX.Модели с переменной структурой. | ||||
| Причины изменчивости структуры модели и способы ее отображения в уравнении регрессии. Проблемы идентификации моделей с переменной структурой. | - | |||
| Типы моделей с переменной структурой. | ||||
| X.Модели с дискретными зависимыми переменными. Проблемы построения моделей. Probit-, Logit- и Tobit-модели. | - - | |||
| XI. Методы оценки параметров нелинейных моделей Причины нелинеаризуемости моделей Проблемы идентификации нелинейных моделей | - | |||
| XII.Использование эконометрических моделей в прогнозировании и анализе социально-экономических процессов | ||||
| Проблемы верификации прогноза Точечный и интервальный прогнозы | - | |||
| Итого |
IY.Форма итогового контроля — экзамен.
Y.Учебно-методическое обеспечение курса.
1.Рекомендуемая литература (основная)
* Айвазян С.А., Мхитарян В.С.Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ, 1998.
* Доугерти К. Введение в эконометрику.Учебник для вузов.М.:Инфра - М., 1999. 402 с.
* Магнус Я.Р. Эконометрика: Начальный курс. Учебное пособие для вузов.М.: Дело, 1998.
2.Рекомендуемая литература (дополнительная)
* Грубер Й.Эконометрия 1: Введение во множественную регрессию и эконометрию. Б.м.: Б.и., 1993. Ч.1,2,3.
* Джонстон Дж. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980. 350 с.
* Дрейпер Н., Смит Г.Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. М.:Финансы и статистика,1987-88. 366 с., 351 с.
* Тихомиров Н.П., Попов В.А. Методы социально-экономического прогнозирования. М.: ВЗПИ, 1993. 228 с.
3.Перечень обучающих и контролирующих компьютерных программ.
Электронная таблица Excel, программы Regre, Trend.
* Т. е. ошибка обладает нулевым математическим ожиданием M[et]=0, ее дисперсия постоянна на всех участках рассматриваемого периода времени, а разновременные значения et и et–j, j=1,2,…; независимы.
* В этом случае значения факторов будут обозначаться как хi, t–1, хi, t–2,...
** ( )¢ означает операцию транспонирования.
* Определение значений оценок параметров эконометрической модели осуществляется на основе исходной информации, выражаемой вектором у и матрицей Х, сформированных из наблюдаемых значений зависимой и независимых переменных.
* Вероятность р* в данном случае определяет границы области принятия гипотезы, р* – вероятность того, что при t<t*( k) гипотеза оказывается верной, т. е. 1– р* – вероятность ошибки.
* Как было отмечено выше принятие решения о “целесообразности” удаления незначимого фактора основывается на анализе и ряда других критериев.
* Для некоторых классов эконометрических моделей (например, моделей временных рядов, моделей финансовой эконометрики) при выявлении соответствия модели и процесса основную роль играет также степень совпадения теоретических свойств модели со свойствами описываемого ею процесса (см. главы VI и VII).
* Следует, однако, отметить, что данные показатели корректно рассчитываются лишь в случае ошибки, в ряду которой отсутствуют автокорреляционные связи. Если же такие связи имеют место, то, вообще говоря, их расчетные значения, определяемые по приведенным ниже формулам, содержат ошибку, величина которой зависит от силы этой связи.
* В таком случае в качестве “меры точности аппроксимации” следовало бы использовать выражение , где – значение ковариации ошибок et и et+i .
* При этом увеличение объема выборки не должно нарушать ее однородность в том смысле, что закономерности рассматриваемых процессов являются теми же, как на “меньшей” выборке, так и на “большей”.
* Напомним, что асимптотическая несмещенность оценок является достаточным условием их состоятельности.
* Напомним, что первый выборочный коэффициент автокорреляции ошибки рассчитывается по следующей формуле:
*G2=[ET–Х×(Х¢Х)–1×Х¢]2=ET–2Х×(Х¢Х)–1×Х¢+Х×(Х¢Х)–1×Х¢Х×(Х¢Х)–1×Х¢=ET–Х×(Х¢Х)–1×Х¢=G.
* Это делается путем подстановки данного выражения в (2.99) и непосредственного перемножения матриц с учетом правила их транспонирования.
* Дисперсия переменной yt в точке t может рассматривать как характеристика, построенная на множестве выборочных оценок математических ожиданий M[yt ] при соответствующих вариантах оценок их параметров, т.е. как
,
где R – количество возможных вариантов оценок параметров и Mr[yt]= – выборочное математическое ожидание переменной yt в r-м варианте. Аналогичным образом могут быть проинтерпретированы и определены и ковариации значений yt и yt+j , t=1, 2,...Т; j= 1, 2,...,T–1
* Доказательство справедливости выражения (2.119) приведено в разделе 2.3.
** Состоятельность в данном случае характеризует определенное свойство функции правдоподобия, связанное с увеличением ряда наблюдений переменных модели при условии однородности выборки. Оно состоит в том, что с ростом Т максимальное значение этой функции (т. е. в точке оптимума) все более значительно превосходит ее значения в точках с другими неоптимальными значениями ее параметров.
* Напомним, что положительно определенная матрица невырождена, имеет положительный определитель и положительные главные миноры. Положительная определенность матрицы W вытекает из ее симметричности.
* См. условие (2.24).
* Вывод соотношений (6.126) предоставляем читателю.
* Приведем типичный пример результатов анализа факторов, повлиявших на изменение цен на ряд товаров, реализуемых на крупнейших финансовых рынках мира (Элина Шкурупий. Китайцы обрушили серебрянный рынок. Известия, 29 февраля 2000 г., № 38, с.12): “Цены на серебро начали падать после сообщения о резком увеличении биржевых запасов наличного металла на складах СОМЕХ. Также на понижение сыграли слухи о возможном поступлении в продажу большой партии китайского серебра и о скором возобновлении работ на серебряных рудниках компании Penoles, крупнейшего мексиканского производителя этого металла...
После заявления министра нефти Саудовской Аравии о том, что его страна постарается не допустить увеличения нефтедобычи и после окончания срока действи нынешних квот, мировые цены на нефть в очередной раз пошли вверх...”
Благоприятный метеопрогноз для большей части зерносеящих регионов США привел к падению цен на пшеницу, кукурузу и сою-бобы и т.п.
* Напомним, что в соответствии с обычными для эконометрики предположениями значения Yt, qt, Rt, Qt; t=1,2, ... рассматриваются как реализации соответствующих случайных процессов, и для каждого момента времени эти значения рассматриваются как случайные величины.
* Ее основные положения вытекают из результатов работы Liber de Ludo Aleae (The Book of Games of Chance), опубликованной в 1565 г. итальянским математиком Джироламо Кардано.
* 1.Bachelier I., 1900; “Theory of Speculation” in Cootner,P.(ed). The Random Character of Stock Market Prices, pp.17-78, Massachusetts Institute of Technology Press, Cambrige, MA, 1964, Reprint.
2.Einstein, А. 1905. “Über die von der molekular-kinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von der in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen”, Annalen der Physik, 17; 549-560.
** ГСБ-1 с распределениями приростов, отличными от нормального, рассмотрена в работе Fama,E.F.(1965) “The behaviour of stock market prices”, Journal of Business, 38, pp.34-105.
* Granger,C.W.J. and O. Morgenstern (1970). Predictability of Stock market Prices (Heath, Lexington, Massachusetts).
** В более общем случае m=mt и mt =f(a, z) – детерминированная составляющая процесса изменения цены, выраженная уравнением с коэффициентами a и аргументами, заданными вектором z.
*Напомним, что в силу независимости et–i и et–j, i¹j, i, j=1,2, M[et–i,et–j]=0.
* Cowles , A., Jones, H. “Some A Posteriori Probabilities in Stok Market Action”. Econometrica, 5, 1937.pp.280-294.
* Выражение (7.76) может быть получено с учетом того, что при t=1
* Выражения (7.97)-(7.100) можно получить, например, используя метод максимального правдоподобия для оценки параметров модели (7.25).
* Напомним, что процесс строгого белого шума предполагает независимость между моментами переменных ut и ut-i любых порядков, т.е. . В нашем случае достаточно, чтобы это условие выполнялось для k£4. Отметим также, что существуют классы моделей с изменяющейся вариацией, которые используют менее строгие предположения в отношении переменной ut . В частности, некоторые из них допускают ненулевые автокорреляционные связи между квадратами ut2 и ut-i 2 (случай белого шума) или даже между значениями ut и ut-i (случай стационарного процесса).
* Заметим, что примером такого рода модели может быть и модель авторегрессионного типа с меняющимся условным математическим ожиданием:
в этом случае условная вариация значения yt определяется следующим выражением:
где Mt–1 – математическое ожидание, определяемое в момент t–1, т. е. на основе информации, относящейся к этому моменту.
Далее, в предположении, что квадраты ошибок связаны моделью авторегрессии k-го порядка получим:
где ai – коэффициенты модели, i=0, 1,..., k; nt – ошибка.
Если значения коэффициентов ai, i>0, равны нулю, то рассматриваемая модель имеет постоянную условную дисперсию ошибки. Если a1¹0 и ai =0, i>1, то et может быть определена выражением аналогичным (7.119), т. е. как
* Процесс, определенный выражением (7.120) в предположении, что переменная vt не зависит от уровня цен Yt, Yt–1,... в литературе иногда называют процессом-произведением (“product-process”).
*
* Напомним, что пределы [–1,96; 1,96] соответствуют доверительной вероятности р*=0,95 для стандартизованной случайной величины.
* Ошибка et формируется позже, чем значение Pt–1, поэтому связь между этими переменными отсутствует.
* Здесь термин “равноправие” взят в кавычки с учетом того, что в моделях иногда используются весовые коэффициенты, определяющие различия в важности информации, содержащейся в разных строках матрицы Х и элементах уt, при определении значений коэффициентов (см. раздел 3.2). Однако этот вариант модели предполагает возможность изменения коэффициентов во времени.
* Рассматриваются фактически значения ошибки.
* Согласно процедуре (4.1)–(4.14) вектор оценок коэффициентов модели по t измерениям определяется на основании следующей последовательности расчетов:
* Ее значение определяется с использованием теории статистик Колмогорова-Смирнова.
* Эти точки могут быть определены с использованием какого-либо из рассмотренных в разделе 9.2 тестов.
* Пусть каждая из последовательностей {xiT} сходится по вероятности к константе: plimT®¥ xiT =ci, i=1,...,п, и пусть функция g непрерывна в точке (c1,..., cп). Тогда plimT®¥ g(x1T,..., xпT) =g(c1,..., cп).
* Функция F–1(Nt) в окрестности точки pt может быть аппроксимирована с помощью ряда Тейлора:
F–1(Nt)= F–1(pt +et)»F–1(pt )+[d F–1(pt )/dpt]× et,
но F–1(pt )=a¢xt, а
Следовательно,
F–1(Nt)»a¢xt +et/f(pt).
* Допущение равенства дисперсий – не слишком сильное. Если дисперсия ошибки e принимает вместо 1 значение s2, то это равносильно умножению всех коэффициентов a на s. Знак произведения a¢x при этом не изменится. Соответственно не изменится и соотношение между латентной переменной y* и наблюдаемой переменной y.
*Индекс 2 используется для обозначения двумерного нормального распределения с плотностью j2 и интегральной функцией Ф2. Во всех остальных случаях индекс 2 показывает, что данная переменная находится во втором уравнении модели (10.57). Как и раньше, j(.) и Ф(.) обозначают одномерные стандартные нормальные плотности и интегральные функции.
* хt =[х1t, х2t]¢.
* См. раздел 10.5.
* См. сноску на с. 513.
* Доказательство:
Используя (10.142), выражение математического ожидания цензурированной переменной запишем в следующем виде:
M[y]=P(y=b)´M[y| y=b]+P(у>b)´M[y| у>b]=
=P(у*£ b)´b+ P(у*>b)´M[y*| у*>b]=F×b+(1–F)×(m+s×l).
Используя известную формулу представления дисперсии случайной величины D[y]=M[условная дисперсия]+ D[условное среднее] с учетом выражений (10.142)–(10.143), имеем
M[условное среднее]=F×D[y| y=b]+(1–F)×D[y| у>b]=
=F×0+(1–F)×D[y*| у*>b]= (1–F)×s2×(1–d);
D[условное среднее]=F{b–M[y]}2+(1–F)×{M[y| у>b]–M[y]}2=
=F{b–Fb–(1–F)×(m+s×l)}2+(1–F)×{(m+s×l)–Fb–(1–F)×(m+s×l)}2=
=F{(1–F)×(b–m–s×l)}2+(1–F)×{F(b–m–s×l)}2.
Сделав замену b–m=s×b,приведем в этом выражении подобные составляющие. В результате получим:
D[условное среднее]={F×(1–F)2+(1–F)×F2}×s2×(b–l)2=
=F×(1–F)×s2×(b–l)2.
Из последнего выражения непосредственно следует, что дисперсия D[y] может быть представлена в следующем виде:
D[y]=s2×(1–F)×[(1–d)+(b–l)2×F].
При b=0 выражение математического ожидания переменной y имеет следующий вид:
Если цензурирование проводится сверху, необходимо только заменить Ф на 1–Ф и переопределить l, как в выражении 10.144.
* Если распределения являются симметричными, как, например, нормальное и логистическое, то 1– F(a¢x)= F(–a¢x).
* При некоторых условиях регулярности последовательность случайных векторов a) сходится по распределению к нормально распределенному случайному вектору с нулевым средним и матрицей ковариаций H–1(a). Вследствие этого матрица H–1(a) называется асимптотической ковариационной матрицей оценки максимального правдоподобия а.
* См. Мански (Manski, 1975,1985, 1986) и Мански и Томпсон (Manski and Tompson, 1986)
[1] Pindyck R., Rubinfeld D. Econometric models and economic forecasts,1997. C. 331–333.
* В модели (11.4) в общем случае значение независимой переменной xi не обязательно должно соответствовать моменту t.
* Попытки разработки прогнозов финансовых показателей на основе простейших типов моделей финансовой эконометрики предпринимались фактически с момента формирования финансовых рынков.
* Brooklings model: Perspective and Recent Developments/ Ed. G. Fromm, L. R. Klein, Chicago, 1975.
** Whitman M. Economics throw perspectives// Business economics, 1983, Jan., P. 20-24.