Потенциальная энергия взаимодействия

Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц. Силы, с которыми частицы действуют друг на друга, будем предполагать направленными вдоль проходящей через обе частицы прямой и зависящими только от расстояния между частицами. Отметим, что указанными свойствами обладают гравитационные и электрические кулоновские (т.е. подчиняющиеся закону Кулона) силы.

Найдем работу внутренних сил, совершаемую при перемещении первой частицы на dr₁, а второй частицы на dr₂ (напомним, что перемещение частицы ds равно приращению ее радиус-вектора dr). Из рис.6.1 вытекает, что эту работу можно представить в виде

dA=F₁₂dr₁+F₂₁dr₂=F₁₂dr₁+F₂₁(dr₁+dr₁₂)=(F₁₂+F₂₁dr₁+F₂₁dr₁₂

Согласно третьему закону Ньютона F₁₂=-F₂₁ , так что F₁₂+F₂₁=0. Поэтому выражение для работы внутренних сил упрощается следующим образом:

dA=F₁₂dr₁₂ (6.1)

Такая же работа была бы совершена, если бы первая частица была неподвижна и находилась в начале координат, а вторая частица получила перемещение dr₁₂, равное приращению ее радиус-вектора r₁₂ .Отсюда следует, что работу, совершаемую внутренними силами при движении обеих частиц, можно вычислять, считая одну из частиц неподвижной, а вторую движущейся в центральном поле сил, создаваемом первой частицей.

Ранее было выяснено, что центральные силы консервативны, вследствие чего их работу можно вычислять как убыль потенциальной энергии. В рассмотренном случае эта энергия обусловлена взаимодействием частиц, входящих в систему; поэтому ее называют потенциальной энергией взаимодействия или взаимной потенциальной энергией.

Когда первая частица неподвижна и находиться в начале координат, в выражении (6.1) можно опустить индексы и написать его в виде

dA=Fdr (6.2)

Здесь F – центральная сила, действующая на вторую частицу, r – радиус-вектор этой частицы.

Если частица притягивается к силовому центру, работа на произвольном пути от точки 1 до точки 2 равна убыли потенциальной энергии, т.е.

A₁₂=-=E_p1-E_p2. (6.3)