Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Разобъем тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w, на элементарные массы Dm_i (рис.8.1).

Момент импульса i – й элементарной массы относительно точки О, лежащей на оси вращения, равен

L_i=Dm_i[r_iv_i] (8.1)

Момент импульса тела L равен сумме моментов импульса элементарных масс:

L= 8.2)

Из рисунка 8.2 следует, что в случае несимметричного тела векторы w и L неколлинеарны. Поэтому при равномерном вращении момент импульса описывает конус вокруг оси вращения

(рис. 8 3). При неравномерном вращении тела вектор L, поворачиваясь вместе с телом, изменяет свою «длину».

Из соображений симметрии ясно, что для однородного тела, симметричного относительно оси вращения (для тела вращения), момент импульса относительно лежащей на этой оси точки 0 совпадает по направлению с вектором w (рис.8.4).

Для твердого тела, как для системы материальных точек, справедливо соотношение

,

согласно которому производная момента импульса по времени равна суммарному моменту внешних сил, действующих на тело:

(8.3)

Моменты L и M_внеш берутся относительно одной и той же точки 0.

Найдем момент импульса твердого тела относительно оси вращения z, т.е. проекцию вектора L на ось z. На рис 8.1 видно, что проекция L_zi момента L_i на ось z равна его модулю L_i, умноженному на косинус угла j_i: L_zi=L_i cos j_i. Поскольку угол между векторами r_i и v_i прямой, L_i=Dm_ir_iv_i. Следовательно,

L_zi=Dm_ir_iv_i cos j_i=Dm_iR_iv_i,

где R_i – расстояние массы Dm_i от оси вращения (см. рис. 8.1). Согласно формуле

v_i=wR_i.

С учетом этого

L_zi=wR_i². Dm_i.

Проекция момента импульса тела L_z равна сумме проекций L_zi:

L_z= (8.4)

Полученное выражение не зависит от положения на оси вращения точки 0, относительно которой определяется момент импульса тела L. Таким образом, значение L_z в случаях а и б на рис. 8.2 одно и то же.

Величина

I= (8.5)

равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно этой оси. Мы пришли к понятию момента инерции, рассматривая вращение твердого тела. Однако момент инерции существует безотносительно к вращению. Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находится в покое.

Воспользовавшись понятием момента инерции, представим выражение (8.5) для момента импульса относительно оси z в виде

L_z=Iw (8.6)

В этой формуле I есть момент инерции тела относительно оси вращения z.

Для момента импульса относительно оси справедлива формула

Следовательно,

Приняв во внимание, что I =const, а =e_z – проекции углового ускорения на ось z получим:

Ie_z= (8.7)

Это уравнение называют уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Оно аналогично уравнению второго закона Ньютона ma_z=Роль массы играет момент инерции, роль линейного ускорения – угловое ускорение и, наконец, роль результирующей силы – суммарный момент внешних сил.