Соображения по поводу игры навылет

По общему мнению, шансы на выигрыш в турнире против равного по способностям игрока соответствуют проценту от общего числа участвующих в игре фишек, составляющему ваш стэк. Так, если у вас 15% фишек, то и шансы на победу тоже составляют 15%. На практике так и происходит, хотя большинство людей не знает, почему. Предположим, что все игроки одинаково хороши, используют приблизительно одну и ту же стратегию – тогда шансы на то, что игрок выйдет первым, пропорциональны размеру его стэка.

Для полноты картины я хотел бы продемонстрировать этот факт на примере двух гипотетических игроков. Это одновременно математическая и логическая задача. Прежде всего, давайте разберем пару ситуаций с точки зрения математики (те, кто ее ненавидит, могут пропустить этот абзац).Предположим, у игрока А ровно в три раза больше фишек, чем у игрока В. Вот нестрогая, но неотразимая демонстрация того, что игрок А выиграет данный турнир в трех четвертях случаев. Прежде всего, каковы шансы на то, что игрок В удвоит свое количество фишек? Это по сути то же самое, что и шансы игрока В выиграть турнир «навылет» у человека с таким же количеством фишек. Итак, понятно, что шансы двух равносильных игроков с одинаковыми стэками в игре навылет - 50 на 50. Однако для того, чтобы игрок В смог выиграть навылет против игрока А, ему нужно удвоить количество фишек (вероятность 1:2), а затем сделать это еще раз(вероятность 1:2). Следовательно, его шансы – один к четырем.

 

 

Результат – 1 к 3 против него, или, в точный процент от количества фишек.

Вот более сложный пример: предположим, что у игрока А в два раза больше фишек, чем у игрока В.Давайте примем шансы игрока А на выигрыш за Х. Тогда шансы игрока В - (1-X). Для того, чтобы выиграть, ему нужно сперва удвоить количество фишек, получив в два раза больше фишек, чем у игрока А, а затем выиграть второй фризаут, где вдвое больше фишек будет у него. Итак, его шансы (1-X) требуют ставки, где в первой части вероятность будет один к двум, а во второй - X (поскольку сейчас он в той же ситуации, в которой изначально был игрок A). Следовательно, 1-X равно половине X.

 

 

Значит, Х равно одной трети.

 

Еще разобратите внимание на то, что результат соответствует процентному соотношению фишек.

Есть, однако, более элегантное, чисто логическое доказательство того, что равные игроки в симметричной ситуации будут выигрывать в полном соответствии с размерами своего стэка. Предположим, что эти игроки договорились проводить такую же игру ежедневно в течение десяти лет. Если они равны по своим способностям, то долговременные результаты неизбежно разделяться пополам. Итак, для того, чтобы это произошло, выигрыши игрока с меньшим стэком должны в процентном соотношении соответствовать количеству фишек. Это рассуждение можно соотнести с любым количеством игроков, которые обладают равными умениями, при этом не имея позиционного преимущества друг перед другом.

К сожалению, не существует такой же простой техники вычисления второго, третьего, четвертого и т.д. игрока на основе одного только количества фишек. Впрочем, некоторые достойные способы оценить их возможности существуют. (Более подробную информацию смотрите в книге Мейсона Мальмута Gambling Theory and Other Topics).