Пусть в тройном интеграле прямоугольные координаты преобразуются к новым координатам которые связаны с соотношениями
(1.21)
которые однозначно разрешимы относительно :
. (1.22)
Обозначим через область в пространстве , в которую отобра-жается область пространства с помощью формул (1.22).
Если функции (1.21) имеют в области непрерывные частные произ-водные первого порядка и якобиан преобразования
в области , то ограниченная замкнутая область пространства взаимно однозначно отображается на область пространства и для тройного интеграла имеет место следующая формула замены переменных:
(1.23)
Цилиндрические координаты связаны с прямоугольными координатами соотношениями:
(1.24)
где (рисунок 1.10).
Рисунок 1.10 | Рисунок 1.11 |
При переходе от прямоугольных координат к цилиндрическим координатам по формулам (1.24) поэтому формула (1.23) принимает вид
Если точка в пространстве имеет прямоугольные координаты , то сферическими координатами точки называют тройку чисел , где ― расстояние от точки до начала координат , ― угол между лучом (― проекция точки на плоскость ) и осью , ― угол между положительным направлением оси и лучом (рисунок 1.11).
Связь между прямоугольными и сферическими координатами определяется соотношениями где При этом и формула (1.23) принимает вид
Обобщенными сферическими координатами называют переменные , связанные с прямоугольными координатами формулами
где
Для обобщенных сферических координат и формула (1.23) имеет вид