Поверхностные интегралы первого рода

Пусть функция, непрерывная на некоторой гладкой ограниченной поверхности . Разобьем поверхность на частей , не имеющих общих внутренних точек, и в каждой части выберем произвольную точку Составим интегральную сумму

(2.7)

где ― площадь

Пусть Если интегральная сумма (2.7) имеет предел при не зависящий от способа дробления поверхности на части и от выбора точек в них, то этот предел называется поверхностным интегралом 1-го рода от функции по поверхности и обозначается т.е.

(2.8)

Если через обозначить площадь поверхности , то из формулы (2.8) следует при что

(2.9)

Если на поверхности распределена с плотностью некоторая масса , то

(2.10)

Координаты центра масс, статические моменты и моменты инерции материальной поверхности вычисляются по формулам, аналогичным формулам (1.5) ― (1.7).

Если поверхность задана уравнением то вычисление поверхностного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла по области - проекции поверхности на плоскость :

(2.11)

где Формула (2.9) для вычисления площади в этом случае принимает вид

(2.12)

Если гладкая поверхность задана параметрическими уравнениями

где функции имеют непрерывные частные производные первого порядка в замкнутой области то

(2.13)

где

(2.14)