Пусть функция, непрерывная на некоторой гладкой ограниченной поверхности . Разобьем поверхность на частей , не имеющих общих внутренних точек, и в каждой части выберем произвольную точку Составим интегральную сумму
(2.7)
где ― площадь
Пусть Если интегральная сумма (2.7) имеет предел при не зависящий от способа дробления поверхности на части и от выбора точек в них, то этот предел называется поверхностным интегралом 1-го рода от функции по поверхности и обозначается т.е.
(2.8)
Если через обозначить площадь поверхности , то из формулы (2.8) следует при что
(2.9)
Если на поверхности распределена с плотностью некоторая масса , то
(2.10)
Координаты центра масс, статические моменты и моменты инерции материальной поверхности вычисляются по формулам, аналогичным формулам (1.5) ― (1.7).
Если поверхность задана уравнением то вычисление поверхностного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла по области - проекции поверхности на плоскость :
(2.11)
где Формула (2.9) для вычисления площади в этом случае принимает вид
(2.12)
Если гладкая поверхность задана параметрическими уравнениями
где функции имеют непрерывные частные производные первого порядка в замкнутой области то
(2.13)
где
(2.14)