Дифференцирование финитных функций

 

Обратимся теперь к наиболее распространенному в практике случаю, когда дифференцируемые функции являются финитными на временной оси, и, следовательно, не принадлежат классу ФФС.

Анализ приведенных ранее аналитических зависимостей показывает, что погрешность N-кратного дифференцирования на основе ряда Котельникова определяется уровнями усечения функции и ее спектра, а также скоростями их убывания соответственно в пространственной (временной) и частотной областях. Для функций, имеющих высокую скорость убывания в указанных областях, рассмотренный математический аппарат позволяет обеспечить требуемую точность N-кратного дифференцирования на заданном отрезке
[-Т, Т], если уровни усечения не превышают некоторых заранее установленных значений. Рассмотрим возможность применения данного аппарата для вычисления производных соответствующего порядка от финитных функций имеющих «плохие» спектральные свойства и большие уровни усечения в пространственной (временной) области.

Первый подход к дифференцированию финитных функций, основанный на сплайн-продолжениях, состоит в следующем. Пусть - произвольная финитная функция (рис. 2.1), у которой производная непрерывна, а кусочно-непрерывна на отрезке [-Т, Т]. Используя операцию сплайн-продолжения, перейдем от функции заданной на отрезке [-Т, Т], к новой функции , заданной на всей вещественной оси (рис. 2.2):

 

Рисунок 2.1 Рисунок 2.2

 

(2.44)

где φ₁(t) и φ₂(t) - вспомогательные функции, у которых производные и непрерывны при и соответственно, и, кроме того, выполняются равенства (условия «стыковки»)

(2.45)

Таким образом, из исходной финитной функции получили сплайн-продолженную функцию φ(t), заданную на интервале (-∞, ∞), состоящем из основного информационного отрезка [-Т, Т] и двух вспомогательных неинформационных полуоткрытых интервалов и .

Далее, вводя оператор усечения в пространственной (временной) области перейдем от φ(t) к финитной функции , заданной на отрезке (рис. 2.3). При этом потребуем выполнения следующего условия:

(2.46)

где - уровни усечения функции φ(t) и ее производных , которые выбираются с учетом полученных в предыдущих подразделах аналитических зависимостей исходя из условия минимизации результирующей погрешности N-кратного дифференцирования (N < M).

 

Рисунок 2.3

 

Очевидно, что периодически (с периодом ) продолженная на всю числовую ось функция остается непрерывной на этой оси вместе со своими производными до (М - 1)-го порядка включительно. Вспомогательные функции φ₁(t) и φ₂(t), удовлетворяющие условиям (2.45), (2.46), могут быть достаточно произвольного вида. Однако полагаем, что независимо от вида финитной функции в качестве φ₁(t) и φ₂(t) используются функции, интегрируемые в квадрате, т.е. и . Каждая из функций φ₁(t) и φ₂(t) должна удовлетворять 2М условиям (2.45), (2.46) и поэтому имеет 2М подлежащих определению коэффициентов.

Необходимость введения условий (2.45), (2.46) можно обосновать из следующих соображений. Если финитную функцию периодически продолжить на всю числовую ось (обозначим полученную функцию через ), то коэффициенты соответствующего ряда Фурье можно определить по формуле

(2.47)

при этом скорость убывания коэффициентов c_k с возрастанием определяется дифференциальными свойствами данной периодической функции.

Близким по своей сути к подходу, основанному на сплайн-продолжении, является известный метод Малиева разложения функций в быстросходящиеся ряды Фурье. Однако данный метод предполагает лишь одностороннее продолжение исходной финитной функции с обеспечением выполнения условия непрерывности соответствующей периодической функции и ее производных различных порядков.

Построение же функции φ(t) (2.44) требует двухстороннего продолжения , выполнения указанного условия непрерывности (2.45) и обеспечения требуемых уровней усечения функции φ(t) и ее производных , в пространственной (временной) области (см. (2.46)).

Второй подход к дифференцированию финитных функций, имеющих «плохие» спектральные свойства, состоит в домножении исходной функции заданной на отрезке [-Т, Т], на некоторую функцию-регуляризатор (где Ξ - вектор постоянных параметров), заданную на том же отрезке [-Т, T] или на расширенном отрезке :

(2.48)

где является продолжением функции с отрезка [-Т, T] на отрезок с сохранением свойства непрерывности. Для функции и ее производных различных порядков на краях отрезка можно задать соответствующие уровни усечения (по аналогии с (2.46)) исходя из условия минимизации результирующей погрешности N-кратного дифференцирования.

В качестве функции-регуляризатора можно рассматривать функцию вида

(2.49)

где при .

В простейшем случае в качестве можно рассматривать гауссовскую кривую, характеризующуюся двумя параметрами. Известно [29], что такая кривая имеет максимально возможную скорость убывания в пространственной и частотной областях и реализует знак равенства в известном «соотношении неопределенности». Выбор значений параметров гауссовской кривой, обеспечивающих требуемое поведение функции и ее спектра соответственно в пространственной (временной) и частот­ной областях, не представляет затруднений, поскольку известно, что убывает на бесконечности быстрее любой степени t при γ > 0.

 

Рисунок 2.4

 

Если найдена производная , то вычисление искомой производной осуществляется в соответствии с известной формулой [4], в которой необходимо заменить на на и на Для того чтобы избежать трудоемкой в вычислительном плане операции восстановления искомой производной в соответствии с указанной формулой, можно использовать в качестве функцию-регуляризатор срезывающего типа [4]. Данная функция является бесконечно дифферен­цируемой на всей вещественной оси (-∞, ∞) и вместе со своими производ­ными тождественно равна нулю для всех Кроме того, функция-регуляризатор срезывающего типа на отрезке [-Т, T] тождес­твенно равна единице, и, следовательно, составная функция на отрезке [-T, T] повторяет исходную функцию . Однако построение срезывающих функций сводится к вычислению соответствую­щих определенных интегралов, что создает определенные неудобства на практике по сравнению с функциями типа (2.49).

Ниже приводятся результаты численного эксперимента, направленно­го на вычисление первой и второй производных от финитных функций (рис. 2.4), (рис. 2.5) и (рис. 2.6), существующих на отрезке [-Т, T]. В качестве продолженных использовались соотве­тственно функции , и , существующие на отрезке , а в качестве - функция-регуляризатор (2.49):

 

Рис. 2.5 Рис. 2.6

 

где (полагалось, что в векторе Ξ все параметры равны нулю, за исключением и , а параметр ),

где ,

Данные выражения позволяют находить приближенные значения производных и в отсчетных точках , отрезка . При практических расчетах необходимо помнить, что отрезку [-Т, Т] соответствует сетка интерполяции объемом 2К + 1, а отрезку - сетка объемом . При этом узлы отрезка образуются путем добавления к узлам , слева и справа соответствующего числа узлов.

 

Рисунок 2.7 Рисунок 2.8

 

На рис. 2.7 приведены зависимости относительной погрешности вычисления (для случая, когда )

от объема сетки аппроксимации для функций (кривая 1), (кривая 2) и (кривая 3) при следующих исходных данных: T = 3, , Кривые 1,2 и 3 на рис. 2.8 показывают зависимость от для функций , и соответственно при Т = 3, К = К + 2 = 8, N = 1.

Анализ графиков (см. рис. 2.7 и 2.8) показывает: во-первых, высокая точность вычисления производных обеспечивается при достаточно малых объемах сетки интерполяции; во-вторых, точность расчетов существенно зависит от выбора значений параметров и , которые определяются исходя из условия минимизации результирующей погрешности дифференцирования с учетом формул, полученных в предыдущих подразделах.

 

Рисунок 2.9 Рисунок 2.10

 

На рис. 2.9 и 2.10 приведены аналогичные зависимости от параметров и для N = 2 (кривые 1, 2 - для функции , кривые 3, 4 - для функции ). Зависимости рассчитывались при следующих исходных данных: на рис. 2.9 кривые 1, 3 -= 4∙10^-4, Т = 3, кривые 2, 4 -= 4∙10^-5, Т = 3, на рис. 2.10 кривые 1, 3 -= К + 3 = 8, Т = 3; кривые 2, 4 - = К + 4 = 9, Т = 3.

Анализ графиков (см. рис. 2.9 и 2.10) показывает, что погрешности вычисления второй производной близки к погрешностям вычисления первой производной (по порядку и характеру поведения кривых). При этом лишь незначительно (4 и 6 точек) увеличивается объем сетки отрезка [-Т, Т], обеспечивающий требуемую точность вычислений.

 

Рисунок 2.11

 

На рис. 2.11 представлены зависимости от при следующих исходных данных: кривая , = 1∙10^-5, T = = 3, N = 1; кривая 2 - = 14, = 1∙10^-5, T = 3, N= 1; кривая , = 1∙10^-5, T = 3, N = 2; кривая , = =1∙10^-5, T = 3, N = 1.

Анализ графиков (см. рис. 2.11) показывает, что точность вычис­лений существенно зависит от числа дополнительных точек, причем с добавлением каждой новой пары точек погрешность дифференцирования уменьшается более чем на порядок и уже при дальнейшее приращение в точности становится практически незначительным.