С учетом (3.1), (3.5), и (3.7), замечая, что , имеем
, (3.9)
откуда вытекает следующее условие несмещенности
, (3.10)
где - нулевая матрица размерности ,
.
Принимая во внимание (3.8), получим
, (3.11)
откуда вытекает следующее условие инвариантности
. (3.12)
Для компактности последующих выкладок введем следующие обозначения: , , , , , , - единичная матрица размерности . С учетом данных обозначений, а также полагая, что система уравнений (3.10), (3.12) совместна, сформулируем и докажем следующую теорему.
Матрица линейного оператора - кратного дифференцирования , обеспечивающая минимизацию следа корреляционной матрицы и выполнение условий несмещенности (3.10) и инвариантности (3.12), определяется по следующей формуле [9, 10, 14, 15]:
, (3.13)
где ,
(3.14)
- для ;
(3.15)
- для ;
(3.16)
- для ,- целая часть числа .
Доказательство осуществляется в соответствии с методом множителей Лагранжа.
С учетом (3.1) для оптимальной оценки минимальный след матрицы находится по следующему правилу
, (3.17)
где
, (3.18)
. (3.19)
Соотношения (3.13) - (3.16), а также (3.17) - (3.19) составляют математическую основу развитого оптимального метода инвариантного оценивания значений операторов - кратного дифференцирования при наличии во входных данных как случайных, так и сингулярных ошибок.
Несложный анализ показывает, что необходимыми и достаточными условиями практической реализуемости данного метода являются:
- наличие ненулевых матриц в (3.13) и невырожденность исходных матриц поставленной задачи ;
- совместность условий несмещенности (3.7) и инвариантности (3.8), то есть базисные функции в (3.1) и (3.3) должны быть линейно независимыми и , следовательно, составная матрица должна иметь ранг, равный ;
- количество узлов в (3.2) должно превышать общее число неизвестных коэффициентов в моделях (3.1) и (3.3), то есть >