Решение задачи

 

С учетом (3.1), (3.5), и (3.7), замечая, что , имеем

, (3.9)

откуда вытекает следующее условие несмещенности

, (3.10)

где - нулевая матрица размерности ,

.

Принимая во внимание (3.8), получим

, (3.11)

откуда вытекает следующее условие инвариантности

. (3.12)

Для компактности последующих выкладок введем следующие обозначения: , , , , , , - единичная матрица размерности . С учетом данных обозначений, а также полагая, что система уравнений (3.10), (3.12) совместна, сформулируем и докажем следующую теорему.

Матрица линейного оператора - кратного дифференцирования , обеспечивающая минимизацию следа корреляционной матрицы и выполнение условий несмещенности (3.10) и инвариантности (3.12), определяется по следующей формуле [9, 10, 14, 15]:

, (3.13)

где ,

(3.14)

- для ;

(3.15)

- для ;

(3.16)

- для ,- целая часть числа .

Доказательство осуществляется в соответствии с методом множителей Лагранжа.

С учетом (3.1) для оптимальной оценки минимальный след матрицы находится по следующему правилу

, (3.17)

где

, (3.18)

. (3.19)

Соотношения (3.13) - (3.16), а также (3.17) - (3.19) составляют математическую основу развитого оптимального метода инвариантного оценивания значений операторов - кратного дифференцирования при наличии во входных данных как случайных, так и сингулярных ошибок.

Несложный анализ показывает, что необходимыми и достаточными условиями практической реализуемости данного метода являются:

- наличие ненулевых матриц в (3.13) и невырожденность исходных матриц поставленной задачи ;

- совместность условий несмещенности (3.7) и инвариантности (3.8), то есть базисные функции в (3.1) и (3.3) должны быть линейно независимыми и , следовательно, составная матрица должна иметь ранг, равный ;

- количество узлов в (3.2) должно превышать общее число неизвестных коэффициентов в моделях (3.1) и (3.3), то есть >