Дадим теперь оценку методической погрешности оптимального оценивания, обусловленной неадекватностью принятой математической модели (3.1). Пусть истинная функция имеет следующее аналитическое представление
(3.20)
при этом функцию считаем интегрируемой в квадрате на всей вещественной оси, для которой [29]
, (3.21)
где при при.
Пусть для функции выполняются следующие ограничения:
0, 1, . (3.22)
Введем меру отклонения функций и :
. (3.23)
Опираясь на результаты второго раздела можно получить ряд оценок сверху на методические погрешности. Так, отклонение функций и при выполнении ограничения (3.22) удовлетворяет неравенству
. (3.24)
Соответственно для оценки погрешности - кратного дифференцирования введем меру отклонения функций и в точке :
. (3.25)
Для погрешности - кратного дифференцирования, обусловленной усечением ряда Котельникова функции в пространственной области, при выполнении условия (3.22) справедлива оценка
, (3.26)
где .
Введем результирующую погрешность - кратного дифференцирования в точке :
, (3.27)
где - погрешность, обусловленная переходом от функции с нефинитным спектром к функции с финитным спектром (усечение в частотной области), - погрешность, обусловленная переходом от к функции с финитным спектром (усечение в пространственной области).
Отклонение функций и в точке удовлетворяет неравенству
. (3.28)
Найдем теперь среднее значение методической ошибки, полагая, что для истинной модели справедливо следующее представление
, (3.29)
где - остаточный член.
Используя символ математического ожидания и учитывая, что и , найдем среднее значение методической ошибки - кратного дифференцирования:
, (3.30)
где .
Непосредственно из (3.29) и (3.30) следует, что методическая погрешность целиком определяется свойствами линейных операторов и , а также величиной остаточного члена и его дискретного аналога . Следует отметить, что минимизация результирующей погрешности оценивания значений оператора , которая характеризуется величинами и , достигается на практике путем рационального варьирования параметрами и . В качестве такой результирующей погрешности можно, например, принять следующую величину
=. (3.31)