Основные элементы задачи. Условия регулярности

 

Пусть известно, что оцениваемый процесс (вектор состояния) на отрезке времени [t₀, T] характеризуется вектором . Для описания данного процесса воспользуемся приближенной математической моделью G. В отличие от вектор состояния, соответствующий модели G, будем обозначать через .

К модели G предъявляются следующие требования:

модель G должна однозначным образом описывать оцениваемый процесс;

модель G должна в некотором смысле наиболее точно описывать оцениваемый процесс (адекватность модели);

модель G должна быть достаточно простой в вычислительном отношении.

Функциональное соответствие между вектором состояния и вектором измеряемых параметров у задается математической моделью S. В большинстве случаев

(1.1)

Поскольку погрешности, возникающие при задании модели S, незначительны, то считаем, что вектор действительных измеряемых параметров определяется в соответствии с уравнением

. (1.2)

Для полного описания условий функционирования системы обработки измерительной информации, характеризующих способ комбинации ошибок измерений с измеряемыми параметрами и вероятностные характеристики ошибок измерений, используется модель Q. В простейшем случае данной модели отвечает следующее функциональное соответствие:

(1.3)

где - вектор результатов измерений; h - вектор ошибок измерений.

Измерения на отрезке времени могут производиться как в дискретные моменты времени t_i, , так и непрерывно В первом случае qK-мерный вектор ошибок измерений полностью характеризуется плотностью вероятности р(h). Если плотность вероятности р(h) является гауссовской, то будем писать , где - вектор математических ожиданий ошибок измерений и K_h - ковариационная матрица. Во втором случае (непрерывное наблюдение) случайный процесс h = h(t) характеризуется соответствую­щим функционалом плотности вероятности.

Следующим элементом задачи оценивания является критерий качества К. Наибольшее распространение в настоящее время получил критерий минимума среднего риска (байесов критерий). Данный критерий применяется в условиях полной априорной определенности. Если же априорное распределение неизвестно, используются другие критерии: минимума условного риска, максимального правдоподобия, минимаксный.

Полагаем, что система обработки измерительной информации характеризуется нерандомизированным решающим правилом когда устанавливается детерминированная функциональная связь меж­ду оценкой и вектором измерений .

Условным риском называют риск , усредненный по условному распределению т.е. по функции правдоподобия

(1.4)

Важным является понятие апостериорного риска, т.е. риска , усредненного по апостериорной плотности вероятности:

(1.5)

где k - нормировочный коэффициент.

Апостериорный риск определяется как

(1.6)

Средний риск, т.е. риск, усредненный по и , связан с апостериорным риском простой зависимостью

(1.7)

Отсюда следует, что байесов критерий оптимальности - критерий минимума среднего риска - эквивалентен критерию минимума апостериорного риска. Это означает, что оптимальный байесов алгоритм должен выбираться из условия минимизации функционала

(1.8)

т.е.

(1.9)

Конкретный алгоритм зависит от выбранной функции потерь , которая задает меру отклонения получаемого решения от истинного. Очевидно, что функция потерь и риск должны отвечать ряду свойств, при которых обеспечивается корректность применения байесова критерия оптимальности.