Дифференцирование функций с финитным спектром

Рассмотрим новый метод N-кратного дифференцирования, базирующийся на применении ряда Котельникова, который по сравнению с известными методами в большой степени ориентирован на решение конкретных задач оценивания.

Пусть задана функция f(t), принадлежащая к классу , для которой справедливо разложение в виде ряда Котельникова (2.3). Рассмотрим производную N-го порядка f⁽^N⁾(t) от функции f(t), представимой рядом (2.3). Относительно функции f⁽^N⁾(t) () можно утверждать, что она, так же как и функция f(t), может быть доопределена в комплексной плоскости как целая функция конечной степени, интегрируемая в квадрате на всей вещественной оси, и для нее справедливо представление

(2.19)

где

Таким образом, располагая совокупностью отсчетов , всоответствии с (2.19) можно однозначно восстановить всю функцию .

Поставим задачу найти точные аналитические выражения для отсчетов , позволяющие по заданной совокупности находить искомую совокупность , а на ее основе восстановить функцию .

Для случая произвольного N применительно к функциям , заданным бесконечной совокупностью отсчетов, можно воспользоваться следующим результатом.

Для класса ф ункций f(t) с финитным спектром производная N-гo порядка f⁽^N⁾(t) в отсчетных точках вычисляется по таким формулам:

для четных

(2.20)

для нечетных

(2.21)

([х] - целая часть числа х).

Вывод данных формул (опущен в силу громоздкости) базируется на использовании формулы Лейбница для N-кратного дифференцирования произведения двух функций и раскрытии неопределенностей типа 0/0, появляющихся при переходе к отсчетным точкам.

Остановимся на вопросе дифференцирования функции f_K(t), которая задается в виде конечного ряда Котельникова и интерполирует исходную функцию. Очевидно, что спектр функции f_K(t) сосредоточен в интервале (-Ω, Ω), и, следовательно, .