Погрешности дифференцирования функций с финитным спектром

 

Для оценки погрешностей дифференцирования введем ограничение на поведение функции при Положим, что для интегрируемой в квадрате функции , выполняется неравенство (2.12).

Введем теперь меру отклонения функций f^(N)(t) и в отсчетных точках отрезка [-Т, Т]:

(2.27)

где

Рассмотрим первый случай, когда при фиксированных
и d > 1 последовательность монотонно убывает
(при i = - К - 1, - К - 2,... и i = K + 1, K + 2,...).

Если последовательность монотонно убывает
(при i = - К - 1, - К - 2,... и i = K + 1, K + 2,...) и, кроме того, выполняется условие (2.12), то для погрешности дифференцирования функции справедлива оценка

(2.28)

где

При получении оценки (2.28) был использован известный признак Лейбница для установления сходимости знакочередующихся рядов.

Поскольку для функций f(t) из класса величина является фиксированной, то в формуле (2.28) варьируемыми оказываются параметры Т и К. Значения данных параметров выбираются из условия обеспечения требуемой точности N-кратного дифференцирования.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда последовательность может не являться монотонно убывающей, однако условие (2.12) выполняется.

Если выполняется условие (2.12), то для погрешности дифференцирования функции справедлива оценка

(2.29)

Введем теперь меру отклонения функций и :

(2.30)

где

Если выполняется условие (2.12), то для погрешности дифференцирования функции на отрезке [-Т, T] справедлива оценка

(2.31)

где в зависимости от характера поведения f(t) при удовлетворяет неравенствам (2.28) или (2.29),

(2.32)

При расчетах в соответствии с формулой (2.31) можно воспользо­ваться оценкой

(2.33)

которая показывает, что величина среднеквадратического отклонения не превосходит полной энергии функции . В этом случае

(2.34)

Если ввести ограничения на поведение функции :

(2.35)

то применительно к можно воспользоваться более строгой оценкой

(2.36)