Амплитудно - фазочастотные характеристики (АФЧХ)

Для изучения внутренних свойства объектов, необходимо исключить из рассмотрения входные и выходные сигналы и оставить только то, что характеризует лишь сам объект.

Если на входе и выходе объекта сигналы имели бы одинаковый набор параметров, то сами сигналы можно исключить, используя лишь набор функций, характеризующих во сколько раз объект изменяет тот или иной входной параметр.

При подаче на вход линейной системы управления (объекта) гармонического сигнала с тремя параметрами (амплитуда, частота, начальная фаза), на выходе получаем то же гармонический сигнал с измененной амплитудой и фазой, но с такой же частотой. То есть, можно получить функцию, показывающую, как изменяются амплитуда и фаза выходной координаты при изменении частоты.

Амплитудно-фазочастотной характеристикой(АФЧХ) называется реакция системы на синусоидальное воздействие единичной амплитуды и нулевой начальной фазы при изменении частоты ω от - ∞ до ∞. Чаще всего диапазон изменения частоты принимается от 0 до ∞.

В математике доказано, что для получения частотных характеристик необходимо в уравнении передаточной функции (3.14) оператор «p» заменить на комплексное число jw. При такой замене получается комплексная передаточная функция (КПФ) или амплитудно - фазочастотная характеристика, которая обозначается W(jw) и имеет следующее выражение:

, (3.20)

где A(w)=– амплитудно-частотная характеристика(АЧХ), которая показывает во сколько раз изменяется амплитуда выходного синусоидального сигнала в зависимости от частоты входного сигнала;

j(w) – фазочастотная характеристика(ФЧХ), которая показывает фазовый сдвиг выходного синусоидального сигнала относительно входного в зависимости от частоты входного сигнала;

P(w) – вещественная частотная характеристика(ВЧХ), которая показывает во сколько раз изменяется амплитуда гармоники выходного сигнала, совпадающей по фазе с входным сигналом, в зависимости от частоты;

Q(w) – мнимая частотная характеристика(МЧХ), которая показывает во сколько раз изменяется амплитуда гармоники выходного сигнала, опережающей на 90 градусов входной сигнал, в зависимости от частоты.

Физический смысл частотных характеристик показан на рисунке 3.5.

Функция W(jw) строится или на комплексной плоскости (см. рисунок 3.6а), или в декартовой системе координат (рисунок 3.6 б).

Амплитудно-фазочастотная характеристика, построенная в комплексной системе координат, называется годографом. К недостаткам использования АФЧХ можно отнести:

- расчет и построение АФЧХ сопряжен с большой вычислительной работой. Однако использование современных вычислительных средств этот недостаток снимает.

- отсутствие четких и простых способов улучшения качества САУ.

Исследование поведения системы частотными методами упрощается, если АФЧХ строить в логарифмической системе координат.

Взяв натуральный логарифм из уравнения (3.20), получим:

. (3.21)

Q(w)

P(w)

б)

P(w)

Q(w)

j(w)

A(w)

j(w)

A(w)

W(jw)

а)

A(ω ),P(ω),Q(ω)

Рисунок 3.6

В ТАУ принято строить логарифмическую характеристику не в натуральной логарифмической системе координат, а в десятичной.

Логарифмической амплитудночастотной характеристикой(ЛАЧХ) называется характеристика, которая рассчитывается по формуле и имеющая размерность в децибелах:

. (3.22)

По оси абсцисс откладывается десятичный логарифм частоты, т.е. lgw.

За единицу масштаба по оси абсцисс принимают декаду или октаву. Декадойназывается диапазон частот, в котором частота изменяется в десять раз, при этом приращение логарифма lgw составляет 1 (рисунок 3.7).