Частотные методы

Связь между переходной и вещественной характеристиками доказана в [1,2,3[ и выражается формулой:

 

(7.6)

. (7.8)

 

Из данного уравнения можно видеть, что переходной процесс можно построить при известной вещественной частотной характеристике.

ВЫВОД: оценить качество переходного процесса можно по форме вещественной частотной характеристики замкнутой системы.

Зная вещественную частотную характеристику, введем параметры, от которых зависят показатели качества переходной характеристики:

 

1. Значение ВЧХ при ω=0 P(0).

2. Значение ВЧХ при ω→∞ P(∞).

3. Максимальное и минимальное значения ВЧХ.

4. Частота положительности - частота, при которой ВЧХ первый раз становится равной нулю.

Основные характеристики переходной характеристики можно оценить следующим образом:

1) по значению ВЧХ при частоте равной нулю [P(0)] определяется установившееся значение выходного сигнала h_уст;

2) по значению ВЧХ в области высоких частот [P(ω→¥)] определяется начальное значение выходного сигнала h(t→0);

3) значение перерегулирования s_m оценивается по формуле:

 

(7.9)

;

 

- перерегулирование при невозрастающей ВЧХ (P³0, dP[dw£0) не превышает 18%;

- переходной процесс будет происходить без перерегулирования, если ВЧХ будет монотонно убывающей, т.е. dP[dw<0. Для ВЧХ, имеющей форму треугольника, переходной процесс будет происходить без перерегулирования;

- время переходного процесса для трапецеидальной ВЧХ находится в интервале: . Время регулирования тем больше, чем больше коэффициент (кси)(см. рисунок 7.2);

4) время регулирования оценивается по частоте положительности w_п, более точно по номограммам Солодовникова (необходимо знать частоту среза w_c);

5) чем круче идет ВЧХ в области частоты положительности, тем больше время регулирования и колебательность.

6) при изменении масштаба по оси ординат ВЧХ, также изменяется масштаб по оси ординат переходной характеристики (ПХ):

 

; (7.10)

7) при увеличении масштаба по частоте w в «n» раз, во столько же раз уменьшится масштаб по оси времени ПХ:

(7.7)

;

8) любая ВЧХ может быть представлена алгебраической суммой трапециидальных ВЧХ;

9) переходные характеристики для ВЧХ, отличающихся в области высоких частот (больше частоты положительности), будут отличаться только в начальные моменты времени, а показатели качества будут примерно одинаковыми;

10) Переходные характеристики для ВЧХ, отличающихся в области низких частот, будут существенно отличаться друг от друга и соответственно иметь разные показатели качества.

 

Для построения вещественной частотной характеристики рассмотрим несколько способов.

А. Аналитический:

 

пусть

(7.12)

,

где H(w) – АЧХ разомкнутой системы;

Q(w) – ФЧХ разомкнутой системы.

Проведя тригонометрические преобразования уравнения (7.9) ВЧХ замкнутой системы можно представить следующим образом:

 

(7.13)

По формуле (7.10) построена номограмма [1] для определения ВЧХ замкнутой системы с единичной обратной связью по ЛАФЧХ разомкнутой системы:

L_р=20lgH(w), Q(w). (7.14)

Алгоритм построения ЛАФЧХ системы с неединичной обратной связь:

 

1. строятся L_р(w), j_р(w) как сумма логарифмических характеристик прямого (L_п, j_п) и обратного каналов (L₀, j₀),

2. для некоторой частоты откладываются по осям номограммы эти значения, ищем точку с этими координатами, определяем ближайшее значение P и Q,

3. определяем. Значения P₀ и Q₀ можно определить по номограммам в [1] в зависимости от значений L₀ и j₀;

4. повторяем п. 2-3 для других частот.

 

Б) графоаналитический:

 

1. строятся логарифмические характеристики замкнутой системы,

2. для ряда частот определяются значения L_з и j_з,

3. рассчитывается и строится вещественная частотная характеристика по формуле:

	(7.8)

,

где

 

(7.9)

.