Система автоматического управления могут содержать элементы с несколькими входными и выходными величинами. Такие системы называются многомерными. При их математическом описании получаются системы дифференциальных уравнений, в правые части которых входит несколько функций времени. Наиболее компактно эти уравнения записываются в векторно-матричной форме.
При составлении векторно-матричной модели многомерной системы используют следующие понятия:
- вектор входа (вектор входных величин, сигналов)
(1)
- вектор выхода (вектор выходных величин, сигналов)
(2)
- вектор состояния (вектор переменных состояний)
(3)
- матрицы
квадратная матрица (r,r)
прямоугольная матрица (r,m)
прямоугольная матрица (n,r)
прямоугольная матрица (n,m)
В этих обозначениях математическое описание многомерной системы сводятся к двум уравнениям:
- векторному дифференциальному уравнению состояния:
(4)
- векторному алгебраическому уравнению выхода:
(5)
Преобразуем по Лапласу векторно-матречное уравнения (4) и (5):
(6)
(7)
Из (6) (8)
Откуда (9)
Подстановка (9) в (7) дает уравнение выхода системы в изображениях – в векторно-матричной форме:
. (10)
Уравнение (10) связывает вектор изображений выходных величин с вектором изображений входных величин.
Матрица . (11)
называется передаточной матрицей (матрицей передаточной функции).
Элементы передаточной матрицы [прямоугольная матрица(m,n)].
(12)
являются передаточной функцией от входной величины к выходной величине .
Структурные схемы многомерных систем.
Отличие структурной схемы многомерной системы от схемы одномерной системы заключается в том, что схеме многомерной системы вместо передаточных функций записываются передаточные матрицы. В связях между звеньями показываются несколько входных и выходных сигналов. В структурной схеме многомерной системы связи между звеньями изображаются двойными линиями.