Алгебраический критерий устойчивости позволяют получить соотношений между коэффициентами характеристического уравнения:
(15)
При которых все его корни имеют отрицательные действительные части, т.е. система является устойчивой.
Известны критерии Рауса (1875) и Гурвица (1895). Критерий Гурвица получил наибольшее распространение.
Критерий Гурвица.
«Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица, все его главные диагональные миноры, а так же коэффициент an были положительны».
Определитель Гурвица составляется из коэффициентов характеристического уравнения (5) по следующим правилам:
1. На главной диагонали выписывают последовательно коэффициенты характеристического уравнения от an-1 до a0 включительно.
2. Строки определителя влево от главной диагонали заполняют коэффициентами с убывающими индексами, а вправо – коэффициентами с возрастающими индексами.
3. Все коэффициенты с индексами меньше 0 и более n заменяют нулями.
4.
Главный определитель Гурвица:
(16)
Все последующие определители – главные диагональные миноры Δn-1, Δn-2, …, получаются вычеркиванием столбцов и строк, начиная, соответственно, с краткого правого столбца и нижней строки.
Например:
Таким образом, условие устойчивости Гурвица сводится к следующим неравенствам:
(7)
Условие устойчивости для системы II порядка: (n=2).