Частотные критерии устойчивости.

 

Нашли широкое применение при расчетах различных (особенно электронных) систем автоматического управления. Частотные критерии устойчивости основаны на анализе характеристического уравнения в комплексной плоскости. Известны критерии Найквиста (1932) и Михайлова (1936)

 

Критерий Михайлова

Если в характеристическом уравнении

Заменить на ,то получим характеристический вектар

При изменении от 0 до конец вектора D() в комплексной плоскости вычертит кривую, называемую характеристической кривой или годографом вектора D().

По виду характеристической кривой можно судить об устойчивости САУ.

 

Критерий Михайлова; ”Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно , чтобы характеристическая кривая при изменении от 0 до , начав свое движении с положительной части вещественной оси, последовательно в направлении против часовой стрелки прошла n квадрантов в комплексной плоскости , нигде не обращаясь в нуль”.

(n-степень характеристического у равнения ).

Годограф Михайлова для устойчивых систем.

Годографы Михайлова для неустойчивых систем.

Из критерия Михайлова вытекает, что для устойчивости системы корни уравнений M(w)=0 и N(w)=o должны чередоваться.

 

Критерий Найквиста

Критерий Найквиста дает возможность судить об устойчивости замкнутой САУ посредством исследования АФЧХ ее разомкнутой системы.

Критерий Найквиста: Для того чтобы замкнутая система была устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ ее разомкнутой системы не охватывала точку(-1;i0); т.е. чтобы при изменении w от 0 доразность между числом положительных (сверху в низ) и отрицательным (снизу вверх) переходов АФЧХ разомкнутой системы через ось абсцисс слева от точки(-1;i0)равна нулю.

АФЧХ устойчивых систем

АФЧХ неустойчивых систем

 

Запас устойчивости

 

В соответствии с критерием Найквиста: замкнутая система является устойчивой если АФЧХ ее устойчивости разомкнутого контура не охватывает точку(-1;i0).

В комплексной плоскости С АФЧХ разомкнутой системы проведем окружность единичного радиуса.

Очевидно что при приближении вектора АФЧХ справа к точке (-1,i0) устойчивая система приближается к границе устойчивости. Поэтому степень устойчивости системы будет находиться в прямой зависимости от степени удаленности точки В от точки (-1,i0). Расстояние с(….) называется запасом устойчивости системы по модулю.

Угол называется запасом устойчивости системы по фазе.

Запас устойчивости по фазе показывает, насколько должна изменяться фаза АФЧХ для выхода системы на границу устойчивости.