Метод определения переходных процессов по частотным характеристикам системы основан на прямом и обратном преобразованиях фурье.
Прямым преобразованием фурье непериодической вещественной функции f(t) называется интеграл:
(1)
Обратное преобразование фурье:
(2)
- непериодическая функция времени; должна удовлетворять условию Дирихле:
Преобразование Фурье (1) позволяет непериодическую вещественную функцию времени f(t) преобразовать в комплексную функцию частоты .
Ранее мы получили, что АФЧХ - есть отношение выходной и входной величин, выраженных в комплексной форме:
(3)
Т.е. преобразованных по Фурье . Т.о. в этом случае приобретает определенный физический смысл как комплексная передаточная функция.
Рассмотрим переходной процесс в системе, вызванный единичным ступенчатым входным воздействием:
Обозначим преобразование по Фурье входную и выходную величины в виде:
Вх. ; вых. - как отклик единичное входное воздействие.
Их связь через комплексную передаточную функцию:
(4)
Определим преобразованную по Фурье единичную ступенчатую входную функцию:
(5)
Итак : (6)
Обратным преобразованием Фурье комплексной функции определим вещественную переходную функцию h(t) при t
(7)
(8)
При t<0
(9)
Вычитаем (9) из (10)
(10)
(11)
Формула (11) лежит в основе частотного метода определения качества переходного процесса при единичном ступенчатом возмущении: формула(11) связывает переходную функцию с вещественной частотной характеристикой (замкнутой) системы.
Однако, непосредственно определение переходного процесса по формуле (11) затруднено вычислением интеграла. Поэтому на практике применяют метод В.В. Солодовникова, по которому вещественная частотная характеристика аппроксимируется в трапециодальной характеристикой , чтобы её можно было представить алгебраической суммой конечного числа элементарных трапеций. Каждая из трапеций должна быть прямоугольной со сторонами, совпадающими с осями координат.
|
Замена вещественной частотной характеристики трапециодальными.
Для каждой трапеции определяют:
Высоту (0); частоту пропускания сигнала и частоту пропускания сигнала без искажения , а также коэффициент наклона :.
Переходная функция для каждой трапеции вычисляется с помощью специальной таблицы по формуле:
Где - табличное время,связанное с истинным временем:
табулированная функция, определяется по таблице в зависимости от x и .
Значения для каждой трапеции определяются в следующей последовательности:
Сначала вычисляют коэффициент наклона .
Затем по таблице для ряда значений находят значения , каждое из которых умножают на . В результате получают ряд значений .Истинное время подсчитывают по формуле . Переходной процесс является алгеброической суммой составляющих :.
Поэтому для получения графика переходного процесса суммируют ординаты составляющих этого процесса с учетом знаков для каждого t.