Расчет переходных процессов по частотным характеристикам.

Метод определения переходных процессов по частотным характеристикам системы основан на прямом и обратном преобразованиях фурье.

Прямым преобразованием фурье непериодической вещественной функции f(t) называется интеграл:

(1)

Обратное преобразование фурье:

(2)

- непериодическая функция времени; должна удовлетворять условию Дирихле:

 

Преобразование Фурье (1) позволяет непериодическую вещественную функцию времени f(t) преобразовать в комплексную функцию частоты .

Ранее мы получили, что АФЧХ - есть отношение выходной и входной величин, выраженных в комплексной форме:

 

(3)

 

Т.е. преобразованных по Фурье . Т.о. в этом случае приобретает определенный физический смысл как комплексная передаточная функция.

 

Рассмотрим переходной процесс в системе, вызванный единичным ступенчатым входным воздействием:

 

 

Обозначим преобразование по Фурье входную и выходную величины в виде:

Вх. ; вых. - как отклик единичное входное воздействие.

 

Их связь через комплексную передаточную функцию:

 

(4)

 

Определим преобразованную по Фурье единичную ступенчатую входную функцию:

 

(5)

 

Итак : (6)

 

Обратным преобразованием Фурье комплексной функции определим вещественную переходную функцию h(t) при t

 

 

(7)

 

(8)

 

При t<0

 

 

(9)

 

Вычитаем (9) из (10)

 

(10)

 

 

(11)

Формула (11) лежит в основе частотного метода определения качества переходного процесса при единичном ступенчатом возмущении: формула(11) связывает переходную функцию с вещественной частотной характеристикой (замкнутой) системы.

Однако, непосредственно определение переходного процесса по формуле (11) затруднено вычислением интеграла. Поэтому на практике применяют метод В.В. Солодовникова, по которому вещественная частотная характеристика аппроксимируется в трапециодальной характеристикой , чтобы её можно было представить алгебраической суммой конечного числа элементарных трапеций. Каждая из трапеций должна быть прямоугольной со сторонами, совпадающими с осями координат.

 

 

 

Замена вещественной частотной характеристики трапециодальными.

 

Для каждой трапеции определяют:

Высоту (0); частоту пропускания сигнала и частоту пропускания сигнала без искажения , а также коэффициент наклона :.

 

Переходная функция для каждой трапеции вычисляется с помощью специальной таблицы по формуле:

 

Где - табличное время,связанное с истинным временем:

табулированная функция, определяется по таблице в зависимости от x и .

 

Значения для каждой трапеции определяются в следующей последовательности:

Сначала вычисляют коэффициент наклона .

Затем по таблице для ряда значений находят значения , каждое из которых умножают на . В результате получают ряд значений .Истинное время подсчитывают по формуле . Переходной процесс является алгеброической суммой составляющих :.

Поэтому для получения графика переходного процесса суммируют ординаты составляющих этого процесса с учетом знаков для каждого t.