Уравнения динамики САУ

 

Уравнение, которое описывает изменяющиеся во времени состояние элемента или системы называются уравнениями динамики.

Для математического описания САУ чаще всего используют дифференциальные уравнения динамики, связывающие входные и выходные величины и время:

(3)

 

Эти дифференциальные уравнения динамики могут быть:

1. Линейными

Уравнение (3) представляется в виде сумы переменных и их производных по времени в 1-й степени с постоянными коэффициентами, например:

(4)

 

- постоянные коэффициенты.

Линейными дифференциальными уравнениями описать простейшие элементы и системы. Задачи автоматического управления в этом случае решаются наиболее просто.

2. Нелинейными

Уравнения содержат переменные и их производны в степенях, отличных от 1, либо их произведения, например:

(5)

Большинство реальных элементов и систем автоматического управления описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. В этом случае решение задач автоматического управления значительно усложняется.

Для упрощения решения нелинейных дифференциальных уравнений динамики подвергаются линеаризации, т.е. заменяются приближенными линейными.

Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений основана на описании элементов и систем в малых отклонениях переменных от равновесных значений тих переменных. Следует отметить, что в большинстве случаев отклонения переменных при их регулировании в системах автоматического управления действительно малы, т.е.линеаризация вполне оправдана.

Допустим, нелинейное уравнение динамики САУ имеет вид:

Уравнение 1-го порядка (6)

, – равновесные (установившиеся) значения входной и выходной переменных в момент t;

, - соответствующие малые отклонения от равновесных значений и .

 

 

Разложим нелинейную функцию F(x,y,t) в ряд Тейлора: в окресности значений и :

(7)

Обозначим: и

(8)

При уравнение (8) описывает невозмущенное состояние системы:

(9)

Вычитая из (8) (9) получим линейное дифференциальное уравнение (для малых отклонений переменных):

(10)

Если элемент или система находится в равновесии, то и уравнение (9) превращается в уравнение статики:

(11)

(в том случае коэффициент a и b становятся постоянными)

Уравнение (10) обычно приводится к стандартному виду деление на a)

;

 

(12)

T - постоянная времени (имеет размерность времени);

K - коэффициент передачи, преобразования или усиления (определяется по статической характеристики).

Уравнение (12) часто приводится к безразмерной (нормированной) форме:

Используя соотношения (стандартный метод)

Где и - безразмерные отклонения;

и - масштабы этих переменных.

(12) можно привести к виду:

(13)

Где - коэффициент усиления(безразмерный)

(13) – линеаризованное нормированное уравнение динамики САУ 1-го порядка.

Если нелинейное дифференциальное уравнение динамики САУ является уравнением 2-го порядка:

(14)

То в результате его линеаризации получим нормированное линеаризованное уравнение динамики САУ в виде:

(15)

 

Вид уравнений динамики определяет характерные типы САУ.

Системы, динамика которых описывается линейными дифференциальными уравнениями, называются линейными.

 

Системы, динамика которых описывается нелинейными дифференциальными уравнениями (причём их линеаризация недопустима, т.к. существенно искажаются качественные особенности происходящих в системе процессов) называются нелинейными.

 

Системы, математическое описание которых представляется дифференциальным уравнением 1-го порядка, называются системами 1-го порядка (линейными или нелинейными).

 

Системы, математическое описание которых представляется дифференциальным уравнением 2-го порядка, называются системами 2-го порядка (линейными или нелинейными).