Решение дифференциальных уравнений динамики САУ, значительно упрощается, если их преобразовать по Лапласу. Этот метод основан на использовании интеграла Лапласа:
, (1)
который переводит функцию-оригинал f(t) в функцию-изображение F(S),
где S – комплексное время.
Т.о. tS; f(t)F(S);
Таким образом, с помощью преобразования Лапласа функции действительного переменного{f(t)} ставится в соответствие функция комплексного переменного{F(S)}.
Для сокращения записи интегральное преобразование (1) обычно записывается в виде:
(2)
Обратный переход от изображения к функции-оригиналу осуществляется обратным преобразованием Лапласа:
(3)
Прямое и обратное преобразования Лапласа для широкого класса различных функций определены и сведены в таблицы.
Важнейшим преимуществом использования преобразований Лапласа является то, что сложные операции дифференцирования и интегрирования функций-оригиналов для их изображений заменяются простыми алгебраическими действиями – умножением и делением:
Некоторые свойства:
Произведём преобразования Лапласа общего дифференциального уравнения динамики элементов САУ:
(4)
tS оригинализображение
Используя свойства преобразований Лапласа, получим:
(5)
или
(6)
Обозначим:
Тогда уравнение ( 6) запишем в виде:
Отношение - передаточная функция
для изображений входной и выходной переменных;
т.о. (8)
Решение дифференциальных уравнений динамики САУ не в действительных переменных x(t), y(t), а в их изображениях X(S), Y(S) сводится к простым алгебраическим операциям (сложение, вычитание, умножение, деление), т.е. элементарно. Таким образом определяется выходная функция-изображение Y(S).
Затем обратным преобразованием Лапласа находится функция-оригинал y(t).
Динамические характеристики САУ
Свойства элементов, их соединений и САУ в целом определяются их характеристиками.
САУ и её элементы имеют статические и динамические характеристики
Статические характеристики определяют зависимость между выходной и входной величинами элемента или системы в установившемся состоянии.
Динамические характеристики определяют свойства элементов или системы в переходном процессе.
Динамические характеристики подразделяются на временные (переходные) и частотные.
Знание характеристик элементов и САУ необходимо для оценки их динамических свойств, анализа и синтеза систем с требуемым качеством функционирования.