Преобразования Лапласа уравнений динамики

Решение дифференциальных уравнений динамики САУ, значительно упрощается, если их преобразовать по Лапласу. Этот метод основан на использовании интеграла Лапласа:

 

, (1)

 

который переводит функцию-оригинал f(t) в функцию-изображение F(S),
где S – комплексное время.

 

Т.о. tS; f(t)F(S);

 

Таким образом, с помощью преобразования Лапласа функции действительного переменного{f(t)} ставится в соответствие функция комплексного переменного{F(S)}.

 

Для сокращения записи интегральное преобразование (1) обычно записывается в виде:

 

(2)

 

Обратный переход от изображения к функции-оригиналу осуществляется обратным преобразованием Лапласа:

 

(3)

 

 

Прямое и обратное преобразования Лапласа для широкого класса различных функций определены и сведены в таблицы.

 

Важнейшим преимуществом использования преобразований Лапласа является то, что сложные операции дифференцирования и интегрирования функций-оригиналов для их изображений заменяются простыми алгебраическими действиями – умножением и делением:

 

 

Некоторые свойства:

 

Произведём преобразования Лапласа общего дифференциального уравнения динамики элементов САУ:

 

(4)

 

tS оригинализображение

 

Используя свойства преобразований Лапласа, получим:

 

(5)

или

 

(6)

 

Обозначим:

 

Тогда уравнение ( 6) запишем в виде:

 

 

Отношение - передаточная функция

для изображений входной и выходной переменных;

 

 

т.о. (8)

 

Решение дифференциальных уравнений динамики САУ не в действительных переменных x(t), y(t), а в их изображениях X(S), Y(S) сводится к простым алгебраическим операциям (сложение, вычитание, умножение, деление), т.е. элементарно. Таким образом определяется выходная функция-изображение Y(S).

Затем обратным преобразованием Лапласа находится функция-оригинал y(t).

 

 

Динамические характеристики САУ

Свойства элементов, их соединений и САУ в целом определяются их характеристиками.

САУ и её элементы имеют статические и динамические характеристики

Статические характеристики определяют зависимость между выходной и входной величинами элемента или системы в установившемся состоянии.

Динамические характеристики определяют свойства элементов или системы в переходном процессе.

Динамические характеристики подразделяются на временные (переходные) и частотные.

Знание характеристик элементов и САУ необходимо для оценки их динамических свойств, анализа и синтеза систем с требуемым качеством функционирования.