Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде
,
где t - запаздывание.
В этом случае характеристическое выражение замкнутой системы полиномом не является и его корни определить невозможно. Для определения устойчивости в данном случае используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.
Порядок применения критерия Михайлова:
1) Записывается характеристическое выражение замкнутой системы:
Dз(s) = A(s) + B(s).e-ts.
2) Подставляется s = jw: Dз(jw) =Re(w) + Im(w).
3) Записывается уравнение годографа Михайлова Dз(jw) и строится кривая на комплексной плоскости.
Для устойчивой АСР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова (см. рисунок 1.43), начинаясь при w = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при возрастании w от 0 до ¥ n квадрантов, где n - степень характеристического полинома.
Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то говорят, что система находится на границе устойчивости.
Пример.Характеристический полином замкнутой системы имеет вид (см. предыдущий пример):
D(s) = 2s4 + 5s3 + 10s2 + 6s + 1.
После подстановки s = jw получается выражение для годографа Михайлова:
D(jw) = 2(jw)4 + 5(jw)3 + 10(jw)2 + 6 jw + 1 = 2w4 - 5jw3 - 10w2 + 6 jw + 1 =
= ReD(w) + j.ImD(w),
где ReD(w) = 2w4 - 10w2 + 1 – действительная часть выражения годографа,
ImD(w) = - 5w3+ 6w - мнимая часть.
Далее, варьируя частоту w от 0 до бесконечности, рассчитываются точки годографа (см. таблицу 1.3) и на комплексной плоскости строится кривая (см. рисунок 1.44).
Таблица 1.3
w | ReD(w) | ImD(w) |
0,1 | 0,1 | 0,9002 |
0,5 | 0,2 | 0,6032 |
0,5 | -1,375 | |
-7 | ||
-7 | ||
2,5 | 16,625 | |
¥ | ¥ | -¥ |
Рисунок 1.44
Годограф Михайлова начинается на положительной действительной полуоси и последовательно обходит четыре квадранта (степень характеристического полинома также равна n = 4), следовательно, система устойчива. Это подтверждает результат, полученный в предыдущем примере. ¨