Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением

,

устойчива, если при a₀>0 положительны все определители ∆₁, ∆₂, . . .∆_п вида

Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆_п=0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n=1;2;3;4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1. Для уравнения первого порядка (n=1)

условие устойчивости: а₀>0 и ∆₁=а₁>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.

2. Для уравнения второго порядка (n=2)

условие устойчивости:

Т.о., и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

3. Для уравнения третьего порядка (n=3)

условие устойчивости:

При n=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов уравнения (а₁, а₂) было больше произведения крайних (а₀, а₃).

4. Для уравнения четвертого порядка (n=4)

кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия

.

При n=4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при

.

Т.о., для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель

∆_п-1 были положительными.

Критерий Гурвица удобно использовать при n<5. При n>5 критерий Гурвица становится громоздким и применяют критерий Рауса.

3.2.2. Критерий Рауса

САУ будет устойчивой, если будут положительны все элементы первого столбца матрицы Рауса (включая а₀ и а₁).

,

где i – номер строки, j – номер столбца.

Если не все коэффициенты столбца положительны, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения.

Матрица:

 

Пример:

Характеристическое уравнение:

Алгебраические критерии устойчивости для систем выше пятого порядка становятся трудоемкими для вычисления. Кроме того, алгебраические критерии не отражаются наглядностью, поэтому на практике широкое распространение получили частотные критерии устойчивости: критерий Михайлова, критерий Найквиста. И тот, и другой критерии базируются на принципе комплексного аргумента.