Прямые методы оценки качества

 

v Классический метод;

v операторный метод;

v частотный метод;

v моделирование на ЭВМ.

 

4.2.1. Классический метод определения показателей качества

Основывается на решении дифференциального уравнения, описывающего динамику процессов в САУ:

Уравнение (2) сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка и разрешается одним из известных методов. Решение уравнения y(t)=f(t), что и представляет собой переходный процесс.

 

4.2.2. Операторный метод

 

К исходному дифференциальному уравнению (2) применяется преобразование Лапласа с учетом начальных условий.

где K_x – это начальное условие по переменной х, K_y – начальное условие по переменной у (а также их производных).

где K(p)=K_y(p)-K_x(p).

1. Применяем прямое преобразование Лапласа к входной величине x(t) (дает х(р)).

2. Получаем в операторном виде переходный процесс по уравнению (3).

3. Используя таблицы Лапласа, осуществляем обратное преобразование Лапласа переменной у(р).

 

4.2.3. Частотный метод

Основан на преобразованиях Фурье. Если f(t) – периодическая функция, то к ней можно применить преобразование:

Если f(t) непериодическая функция, то ее тоже можно представить с помощью интеграла Фурье:

Тогда f(t) может быть представлена:

- прямое преобразование Фурье;

- обратное преобразование.

 

4.2.3.1. Понятие обобщенной частотной передаточной функции

Обобщенная частотная передаточная функция представляет собой следующее выражение:

.

Обобщенная частотная передаточная функция содержит в себе как частотные характеристики объекта (w(р)), так и характеристики входного воздействия в операторном виде (х(р)).

Если р придать чисто мнимое значение jw, то обобщенное число

.

Определение переходного процесса через вещественную характеристику обобщенной частотной передаточной функции.

Здесь действительная часть является функцией четной, а мнимая – нечетной. Поэтому, если интеграл , то для действительной части

.

Мнимая часть будет равна нулю, т.о.

Все процессы при отрицательном времени равны нулю:

Тогда

С учетом этого у(t) будет иметь вид:

4.2.3.2. Определение показателей качества по типовым характеристикам

 

- частный случай, когда входным сигналом является ступенька. Тогда

, или в операторной форме , тогда

,

где Re(W) – действительная часть передаточной функции.

Любую переходную характеристику можно разбить на трапеции. Исходя из этого, Солодовников и Воронов предложили следующий способ: рассмотреть единичную трапецию и на ее основе описать переходные процессы.

Единичная трапеция:

Здесь w_d - частота равномерного пропускания; w₀ - частота пропускания.

Функция Р(w) может быть описана следующим образом:

,

где коэффициенты .

Введем коэффициент , и выразим

где - интегральный синус.

Солодовников создал h-таблицы (h(t)=h_l(t)), в которых для каждого конкретного l и по времени t можно получить переходный процесс, соответствующий данной единичной трапеции. Для неединичной трапеции, когда Р(0)¹1=К, переходный процесс увеличивается в К раз.

Порядок построения переходного процесса по вещественной частотной характеристике:

1. Получаем выражение для Р(w) (Существует два способа получения вещественной части: первый наиболее точный, путем выражения из передаточной функции; второй – по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы).

2. Строится график вещественной частотной характеристики.

3. Характеристика разбивается на трапеции.

4.

Для каждой трапеции определяются частоты w_d, w₀ и соответствующий им коэффициент l.

5. Из таблиц h-функции для каждой трапеции определяется переходный процесс h_l(t).

6. Каждый из переходных процессов масштабируется в соотношении К=Р(0).

7. Все переходные процессы суммируются. Полученный результат – есть переходный процесс, соответствующий данной вещественной частотной характеристике.

8. По переходному процессу определяются основные показатели качества.

Частотные методы являются как прямыми, так и косвенными методами оценки показателей качества. Как прямой метод, частотные методы позволяют построить кривую переходного процесса в зависимости от Р(w) с помощью специальных методов. Как косвенный метод, частотный метод позволяет по виду Р(w) приближенно вычислить показатели качества.

4.2.4. Моделирование с использованием вычислительных средств

На сегодняшний день это самый широко используемый метод определения качества переходных процессов. В основе этого метода может лежать система дифференциальных уравнений (метод Эйлера, метод Рунге-Кутта любого порядка). В результате решения этой системы получается таблица значений, определяющая переходный процесс в системе. Другим способом моделирования является решение характеристического уравнения. Полученные корни характеристического уравнения определяют переходный процесс в операторном виде. Используя преобразования Лапласа, получаем переходный процесс во временном пространстве.

Достаточно развитое программное обеспечение предоставляет несколько пакетов (средств) моделирования (STRATUM; MATLAB; GPSS и др.).

СТАУ предлагает описание САУ в терминах пространства состояния. Описанные таким образом системы, ориентированы на применение вычислительных средств.