Косвенные методы оценки качества САУ.

 

4.3.1. Частотный косвенный метод оценки качества.

 

1. Близким по виду вещественным характеристикам Р(w) соответствуют близкие по виду переходные характеристики h(t).

2. При косвенных оценках вещественной характеристики Р(w) ограничиваются исследованием спектра частот w_П, при которых вещественная действительная характеристика Р(w) имеет положительное значение.

Отбрасываемая часть при частотах свыше w_П влияет на начало переходной характеристики h(t).

3.

Если , где п – произвольное число, то . Это означает следующее: если рассмотреть две характеристики, то

вещественной частотной характеристике с захватом наибольших спектров частот (более широкая переходная характеристика) соответствует менее длительный переходный процесс. Чем шире Р(w), тем быстрее происходит затухание, т.е. тем меньше время переходного процесса.

4. Установившееся значение h(¥) соответствует значению вещественной частотной характеристики при частоте w=0

.

5. Если вещественная частотная характеристика Р(w) является монотонно убывающей функцией и Р(¥)=0, то переходная характеристика имеет апериодический характер. Для апериодического процесса

В этом случае перерегулирование .

6. Если Р(w) - является положительной невозрастающей функцией, то переходная характеристика имеет вид затухающих колебаний:

Перерегулирование составляет .

7. Если вещественная характеристика Р(w) имеет явно выраженный max

,

то переходная характеристика будет иметь вид затухающих колебаний и перерегулирование .

8. Общим условием для немонотонности переходной характеристики (колебательности) является: частотная характеристика Р(w) на каком-то этапе должна быть меньше G(w), которая определяется как

.

Здесь - наибольшее целое число от деления.

9.

Если Р(w) претерпевает разрыв, то система находится на границе устойчивости.

10.

Склонность к колебаниям (h_max) тем выше, чем больше пик P_max.

11. Для монотонного (апериодического переходного процесса) время переходного процесса составляет

.

12. Если Р(w) может быть аппроксимирована трапецией вида

то длительность переходного процесса определяется неравенством:

.

 

13. Если вещественную характеристику Р(w) можно разложить на ряд трапеций, то по параметрам трапеций можно определить перерегулирование s по ординатам этих трапеций. Все трапеции должны быть прямоугольные.

,

где P_k(w) - значение высоты трапеции, имеющей на осях Р(w), w - положительное значение, P_i(w) - значение высоты трапеции, имеющей на осях Р(w), w - отрицательное значение.

 

4.3.1.1. Построение вещественной частотной характеристики с использованием ЛАЧХ разомкнутой системы и номограммы.

 

Рассмотрим структурную схему:

 

Передаточная функция такой системы имеет вид:

Данному уравнению на комплексной плоскости соответствуют кривые Р(w)=const, при этом по оу откладываются 20lgH, а по ох – фаза q.

Данная схема называется номограм­мой. Индексы около каждой кривой означают значения вещественной частотной характеристики (ВЧХ).

 

Алгоритм построения ВЧХ по номограмме

1. Строятся ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы.

2. Заполняется следующая таблица (первые три строки):

w	w1	…	wп
Ндб	Н1	…	Н2
q	q1	…	q2
Р

3. Строится ЛАФХ в масштабе номограммы.

4. Данная ЛАФХ накладывается на номограмму.

5. Точки пересечения ЛАФХ с кривыми номограммы определяют значение ВЧХ. Заполняем четвертую строку данной таблицы. Т.о. получаем затабулированную функцию Р(w).

 

4.3.2. Корневые методы оценки показателей качества

 

Корневые методы для определения косвенной оценки показателя качества используют корни характеристического уравнения замкнутой системы и их расположения на комплексной плоскости.

Передаточная функция любой системы может быть представлена в следующем виде:

,

где g_i – это нули передаточной функции; l_i – полюса передаточной функции (корни характеристического уравнения).

l_i определяет устойчивость системы и качество переходных процессов, g_i определяет только качество переходных процессов.

 

4.3.2.1. Влияние полюсов передаточной функции на качество переходных процессов

 

 

Каждому полюсу l_i на комплексной плоскости соответствует определенная точка. Данные корни определяют на плоскости следующую замкнутую плоскость.

В корневых методах используют так называемые корневые показатели, определяемые по расположению корней

р₁, р₂, …, р_п характеристического уравнения замкнутой системы на комплексной плоскости.

1) Наиболее общим корневым показателем качества является среднее геометрическое значение модулей корней

,

которое легко вычисляется через крайние коэффициенты характеристического уравнения. a₀ определяет центр расположения всех корней характеристического уравнения и влияет на быстродействие системы. Чем меньше показатель a₀, тем ближе «созвездие» корней к мнимой оси и тем больше длительность переходного процесса.

Пусть : Чем ближе к мнимой оси, тем ближе САУ к границе устойчивости. Поскольку - где - передаточный коэффициент разомкнутого контура для астатических систем, а - для статических систем.

Чем выше коэффициент усиления k, тем лучше быстродействие системы.

2) Расстояние от мнимой оси до действительной части ближайшего к ней корня называется степенью устойчивости h.

3) Колебательные свойства системы регулирования предопределяет k–ая пара комплексных корней , для которой наибольшее отношение

или наибольший угол j между действительной осью и лучами, соединяющими начало координат с этими корнями. В данном случае такой парой являются комплексные корни р₂ и р₃.

Отношение m_д мнимой части b к действительной части a доминирующей пары комплексных корней называют степенью колебательности.

В практических расчетах чаще используют корневой показатель колебательности

,

также определяемый через доминирующую пару комплексных корней. При выборе настроек регуляторов стремятся получить значения .

4) Абсолютное значение x действительной части корня, наиболее удаленного от мнимой оси.

4.3.2.2. Связь степени устойчивости с быстродействием системы

Степень устойчивости h характеризует в переходном процессе самую медленную составляющую, поэтомубыстродействие (время переходного процесса) в значительной мере зависит от h.

Допустим, что h определяет апериодическую составляющую переходного процесса (ближайший корень действительный). Будем считать, что установившееся время . Это означает, что весь переходный процесс

Здесь ∆ - это числовая характеристика, показывающая, во сколько раз изменилась величина С во времени (0;¥).

Для типовых систем ∆ задается (∆=0,05) и тогда время переходного процесса составляет

,

т.о. t_ПП в таких случаях будет определяться только степенью устойчивости t_ПП=f(h).

Если ближайший к мнимой части корень комплексный, то это определяет колебательную составляющую

 

4.3.3.3 Связь колебательности с перерегулированием

Введем понятие логарифмического декремента затухания

.

Логарифмический декремент затухания показывает, сколько колебаний происходит в период изменения амплитуды колебаний в е раз.