Кореляційна матриця економічних показників

	y	x₁	x₂	x₃
y
x₁	0,690433
x₂	0,404724	0,819116
x₃	-0,40934	-0,01483	-0,0979

Після аналізу кореляційної матриці можна зробити висновок, що коефіцієнти х₁ і х₂ мають велике значення коефіцієнту кореляції і це може свідчити про наявність лінійної залежності між ними. На основі даного висновку можна говорити про наявність мультиколінеарності в даній моделі.

2. Визначимо ступінь колінеарності. У разі відсутності мультиколінеарності у моделі множинний коефіцієнт детермінації R²_yx1x2х3 буде приблизно дорівнювати сумі часткових коефіцієнтів детермінації R²_yx1, R²_yx2, R²_yx₃. Якщо мультиколенеарність присутня, тоді це рівняння виконуватись не буде і у якості виміру мультиколінеарності можна використати змінну М₁:

М₁ = R²_yx1x2_x₃– ( R²_yx1 + R²_yx2 +R²_y_x3).

Чим більше змінна М₁ наближатиметься до нуля, тим менша мультиколінеарність.

Знайдемо коефіцієнти детермінації. Для цього використовуємо надстройку “Аналіз даних– Регресія”.

R²_yx₁_x₂_x_{3 =}0,754283 (будуємо регресі ю між y та x₁, x₂, x₃)

R²_yx₁= 0,476698 (будуємо регресі ю між y та x₁)

R²_yx₂= 0,163801 (будуємо регресі ю між y та x₂)

R²_yx₃= 0,167558 (будуємо регресі ю між y та x₃)

M₁= 0,754283 – 0,476698 – 0,163801 – 0,167558= – 0,053774

Відповідно, до нашого приклада: М₁ ненаближається до 0, тому слід вважати наявність мультиколінеарності.

3. Перевіримо інтенсивність мультиколінеарності за формулою:

Відповідно до нашого приклада отримаємо:

Даний коефіцієнт значно більший нуля, тому можна говорити про високу інтенсивність мультиколінеарності.

4. Одним із методів усунення мультиколінеарності є метод виключення змінних за Фарраром та Глаубером.

Процедура відбору змінних складається з трьох кроків. При цьому передбачається нормальне розподілення залишків.

Крок 1. Мультиколінеарність виявляється в загальному вигляді. Для цього будується матриця R коефіцієнтів парної кореляції між пояснюючими змінними та визначається її визначник.

r_ij=cov(x_i, x_j)/σ_xi σ_xj

Кореляційну матрицю можна отримати використовуючи пакет “Аналіз даних” електронної таблиці Excel інструмент “Кореляція”.

0,321622

Далі для перевірки наявності мульколінеарності взагалі серед пояснюючих змінних використовується хі квадрат критерій χ² (хі квадрат ).

Висувається нульова гіпотеза Н₀: між пояснюючими змінними мультиколінеарність відсутня. Альтернативна гіпотеза Н₁:між пояснюючими змінними є мультиколінеарність.

Розраховують значення χ²

χ²=–(n-1-1/6*(2*m+5))*lnD

де n–кількість спостережень, m– кількість пояснюючих змінних.

Ця величина має розподіл χ² з f=1/2*m*(m-1) ступенями вільності. Якщо розраховане значення χ² менше за табличне, то Н₀ приймається_.вважаємо, що мультиколінеарності між пояснюючими змінними немає. Інакше . А які данні сильно корелюють визначається на другому кроці.

χ²= – (10-1-1/6*(2*2+5))*ln(0,321622)=8,508,

f=1/2*2*(2-1)=1.

Табличне значення χ²=3,841 (при f=1 та α=0,05)

Таким чином (8,508 ≥ 3,841), тому гіпотеза про наявність мультиколінеарності між пояснюючими змінним не суперечить даним дослідження

Крок 2. Використовуються коефіцієнти детермінації між пояснюючими змінними R²k12…k-1k+1…m. Оцінка мультиколінеарності основана на тому, що величина

має F-розподіл з f₁=m-1 I f₂=n-m ступенями вільності.

Якщо F≥F_α_;_f_1,_f₂, то змінній x_k в найбільшому ступені притаманна мультиколінеарність. По Фаррару і Глауберу вивчення m значень F-статистик має показувати, які з пояснюючих змінних в більшій мірі підверджені мультиколінеарності.

R² _x_1,_x_2,_x₃ = 0,675265

F = (10-2)*0,675265/[(2-1)*(1–0,675265)]= 16,6355

F ≥ F_табл.

R² _x_2,_x_1,_x₃= 0,678307

F = (10-2)*0,678307/((2-1)*(1-0,678307))= 16,8684

F ≥ F_табл.

R² _x_3,_x_1,_x₂= 0,02257

F = (10-2)*0,02257/((2-1)*(1–0,02257))=5,367608/0,329049=0,18473

F < F_табл.

F_табл _.= 5,32 з f₁ = m-1 = 2-1 = 1 I f₂ = n-m = 10-2=8 ступенями вільності.

F ≥ F_табл.

Таким чином змінним х₁ та х₂ в найбільшому ступені притаманна мультиколінеарність

Крок 3. З’ясовується, яка пояснююча змінна породжує мультиколінеарність, та вирішується питання про її виключення з аналізу. Для цієї цілі розраховується коефіцієнт частинної кореляції r_jk_12…_m (j, k=1,2,…,m; j <> k) між пояснюючими змінними. Змінна y в розрахунок не береться. В якості критерію використовується величина

що має t-розподіл з f = n – m ступенями вільності. Якщо t_j_,_k > t_α_,_f, то між змінними існує колінеарність и одна з них має бути виключеною. При виключенні змінної дослідник має опиратися як на власну інтуїцію, та і на змістовну теорію явища. Якщо t_j_,_k ≤ t_α_,_f, то дані не підтверджують наявність колінеарності між змінними x_j та x_k .

Знайдемо коефіцієнти частинної кореляції r_jk_12…_m (j, k=1,2,…,m; j<>k) між пояснюючими змінними. Кореляційна матриця має вигляд.

	x₁	x₂	x₃
x₁
x₂	0,819116
x₃	-0,01483	-0,0979

t_0.05;8 = 2,31

r² ₁₂₃ = r² ₁₂+r²₁₃,

r² ₂₃₁ = r² ₂₃+r² ₂₁

r² ₃₁₂ = r² ₃₁+r²₃₂

1. r² ₁₂₃

r² ₁₂₃ = 0,819116²+(–0,01483)²= 0,671171, r ₁₂₃= 0,819225

4.040761

t₁₂> t_0.05;8 Між змінними х₁ та х₂ існує колінеарність.

2. r² ₂₁₃

r² ₂₃₁= (–0,0979)² + 0,819116²= 0,68053, r ₂₁₃= 0,824946

4.12815

t₂₃> t_{0.05;8 .} Між змінними х₂ та х₃ існує колінеарність.

3. r2 ₃₁₂

r² ₃₁₂ = (–0,01483)²+(–0,0979)²= 0,009804 = 0,099017

0,281445

t₃₁< t_0.05;8.Між змінними х₃ та х₁ не існує колінеарність.

Висновок: змінну х₂ потрібно вилучити з розгляду. Наша модель буде показувати залежність між y (прибутку підприємства, тис.грн.) та х₁ (виробничих витрат, тис.грн.) та х₃ (середньої кількості працівників, чол.).

Економетрична модель буде мати вигляд:

y = 9,976384 + 0,349471*x₁ – 0,03592*x₂

Контрольні питання:

1. Поняття мультиколінеарності.

2. Причини виникнення мультиколінеарності.

3. Тестування наявності мультиколінеарності.

4. Методи усунення мультиколінеарності.

Лабораторна робота № 7

(4 години)