Метод фазового пространства. Виды фазовых траекторий.

Для оценки устойчивости и качества переходных процессов в нелинейных системах удобно использовать геометрическое представление, основанное на понятии о фазовом пространстве. Фазовое пространство – это пространство в прямоугольной системе координат X_i, по которым откладываются величины, определяющие состояние системы в заданный момент времени. В общем случае, применительно к системе n-го порядка таких координат будет n. Это выходная величина и ее n-1 производных. В случае систем второго порядка исследования проводятся на фазовой плоскости Наиболее просто описывается система 2 порядка на фазовой плоскости.

У = х₁

= х₂

.

Состоянию системы в каждый момент времени, определяемому значениями ее n координат, соответствует определенная точка фазового пространства. Эта точка называется изображающей. При изменении состояния системы изображающая точка будет перемещаться, описывая траекторию, которая называется фазовой траекторией. Здесь не рассматривается только временная составляющая, которая играет роль параметра.

Модель вход/выход:

Y=f(u) - 1 уравнение n-го порядка

Y=f(х₁,х₂, ,х_n) - n уравнений 1-го порядка

х_i – внутренние состояния системы

- уравнения Коши

Внутренние координаты позволяют описать систему в пространстве состояний. В момент времени t состояние объекта однозначно определяется как некоторая функция.

Фазовая траектория в n-мерном пространстве фиксирует состояние объекта.

У

а₁ у

а₂ t

 

 

.

Рис.9. Фазовое пространство.

Для линейных систем в случае устойчивой системы все фазовые траектории асимптотически стягиваются в начало координат (рис.10 а), так как по оси X откладывается для удобства не сама выходная величина, а ее отклонение от установившегося режима.

Рис.10. Фазовые портреты устойчивой (а)

и неустойчивой (б) линейных систем

Режиму автоколебаний (границе устойчивости в линейной системе) соответствует траектория в виде эллипса. Изображающая точка бесконечно движется по одной и той же замкнутой траектории. Замкнутые фазовые траектории называются предельными циклами. Они бывают устойчивыми, неустойчивыми и полуустойчивыми.

а) б)

Рис.11. Замкнутые фазовые траектории

а – устойчивый предельный цикл;

б – неустойчивый предельный цикл.

Возможно получение фазовой траектории, состоящей из двух предельных циклов..

Рис.12. Фазовая траектория с двумя предельными циклами

Неколебательному переходному процессу соответствуют фазовые траектории, подобные изображенным на рис.13

а) б)

Рис.13. Фазовые траектории, соответствующие

апериодическим переходным процессам