Каждая замкнутая жорданова кривая делит плоскость на две различные области, для которых она является общей границей.
2. Понятие комплексного интегрирования.Пусть - спрямляемая кривая и - функция, определенная и непрерывная на .
Так как криволинейные интегралы
,
существуют, то существует и выражение вида
. (4.3.1)
Этот интеграл называют комплексным интегралом.
Из (4.3.1) следует, что на интегралы от функций комплексного переменного распространяются обычные свойства криволинейных интегралов второго типа:
1) (4.3.2)
Здесь через обозначается кривая, отличающаяся от только направлением обхода.
2) (4.3.3)
Здесь - дуги, получающиеся при каком-либо разбиении кривой на части, причем начало дуги совпадает с началом кривой , начало дуги - с концом дуги и конец дуги - с концом кривой .
3) (4.3.4)
Здесь - функции, определенные и непрерывные на , а - комплексные постоянные.
4) Если - кусочно-гладкая кривая, то
(4.3.5)
5) , (4.3.6)
где - длина кривой . Чтобы получить это неравенство, достаточно заметить, что
и перейти к пределу.
Все перечисленные свойства являются точными аналогами соответствующих свойств интегралов от действительных функций.
Однако необходимо отметить, что одно из свойств определенных интегралов от действительных непрерывных функций (так называется первая теорема о среднем значении) не имеет места для определенных интегралов от комплексных непрерывных функций даже в том случае, если ограничиться интегрированием вдоль отрезка действительной оси.
3. Формула Римана-Грина.Как известно, формула Грина
(4.3.7)
где - внутренность замкнутой жордановой кривой , выводится обычно при следующих предположениях:
а) любая прямая, параллельная координатной оси, пересекает не более, чем в двух точках (исключения допускаются только для двух крайних положений в направлении каждой оси, где возможно пересечение по прямолинейному отрезку);
б) функции непрерывны в замкнутой области .
В формуле (4.3.7) криволинейный интеграл берется в положительном направлении, то есть в направлении против часовой стрелки.
Имеет место
Утверждение. Пусть - внутренность замкнутой жордановой кусочно-гладкой кривой и пусть действительная и мнимая части и функции непрерывны и обладают в замкнутой области непрерывными частными производными первого порядка. Тогда
(4.3.8)
Действительно, в силу формулы (4.2.2),(4.3.1) и (4.3.7) имеем
(4.3.9)
Формулу (4.3.8) называют формулой Римана-Грина.