Понятие неопределенного интеграла имеет смысл только для аналитических функций. Пусть функция аналитична в области и пусть в этой области определена аналитическая функция , причем . Тогда функцию будем называть неопределенным интегралом (или первообразной) функции . Для неопределенного интеграла будем использовать обозначение
Понятие неопределенного интеграла от аналитической функции имеет смысл главным образом потому, что определенный интеграл от аналитической функции не зависит от пути интегрирования, и определенный интеграл можно выразить через определенный интеграл с переменным верхним пределом. Именно, справедлива следующая фундаментальная теорема, носящая название теоремы Коши:
Основная теорема Коши.Пусть - конечная односвязная область и пусть функция однозначна и аналитична в этой области. Если - спрямляемая кривая с началом в точке и концом в произвольной точке , лежащая в области , то интеграл
(4.4.1)
не зависит от выбора пути интегрирования, а зависит исключительно от начальной и конечной точки этого пути. Считая точку фиксированной, можно рассматривать интеграл (4.4.1) как однозначную функцию верхнего предела . Эта функция аналитична в области , причем ее производная равна .
Эта теорема при дополнительных ограничениях, когда непрерывна в области , а есть жорданова кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области и соединяющая точку с произвольной точкой области , легко доказывается, опираясь на теоремы о криволинейных интегралах второго типа от действительных переменных. Однако в данной теореме предполагается только существование во всех точках области , а является спрямляемой кривой и поэтому, доказательство наиболее существенной части основной теоремы Коши опирается на следующее утверждение:
Интегральная теорема Коши.Если функция однозначна и аналитична в конечной односвязной области , то ее интеграл вдоль любого замкнутого спрямляемого контура , лежащего в области , равен нулю:
.
Доказательство этой теоремы, не предполагающее непрерывности , впервые было дано Э. Гурса и затем упрощено А. Прингхеймом; оно имеется во многих руководствах по теории аналитических функций.
Теперь, опираясь на интегральную теорему Коши, перейдем к доказательству основной теоремы Коши.
Из интегральной теоремы Коши следует, что интегралы от функции , однозначной и аналитической в односвязной области , вдоль любых двух спрямляемых кривых и , лежащих в области , с общим началом в точке и концом в произвольной точке имеют равные значения. Действительно, спрямляемая кривая является замкнутой и, следовательно,
,
откуда
Итак, значение интеграла от аналитической функции не зависит от той кривой, по которой производится интегрирование (от пути интегрирования), а зависит исключительно от начальной и конечной точек этой кривой. По этой причине для обозначения интеграла можно использовать символ
,
опуская указание на путь интегрирования и отмечая только начальную и конечную точки и .
Так как фиксированная, то интеграл этот представляет собой однозначную функцию от
.
Остается доказать, что функция является аналитической функцией в области , причем ее производная равна подынтегральной функции .
Пользуясь непрерывностью функции (непрерывность функции является следствием ее аналитичности), построим - окрестность произвольной точки области так, чтобы, во-первых, эта окрестность принадлежала области , а, во-вторых, чтобы для любой ее точки выполнялось неравенство
.
Обозначим какую-нибудь спрямляемую кривую, соединяющую и внутри области , и через прямоугольный отрезок, соединяющий точку с произвольной точкой -окрестности. При достаточно малом любую спрямляемую кривую, соединяющую точку с точкой , можно считать прямолинейным отрезком. Точка может находиться и на .
Стало быть, для всех точек , то есть для всех точек , для которых , где - длина прямолинейного отрезка , а - радиус окружности, в силу непрерывности функции в точке , выполняется соотношение
(4.4.2)
где при и, следовательно, при .
Для отношения в силу формулы (4.3.3) имеем
(4.4.3)
В дальнейшем для доказательства достаточно потребовать только лишь непрерывность функции в - окрестности и выполнение неравенства для любой ее точки .
Подставляя (4.4.2) в (4.4.3) и замечая, что , с учетом формулы (4.3.6), находим
Отсюда ввиду того, что при получаем
.
Основная теорема Коши доказана.
Следствие 1. Если функция аналитична в односвязной области , то ее неопределенный интеграл может быть представлен так:
,
где - произвольная комплексная постоянная.
Следствие 2. Если −произвольная первообразная аналитической функции , то
,
откуда при , где − фиксированная точка, получаем
.
Эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница.
Замечание. В некоторых книгах интегральная теорема Коши формулируется так:
Если функция аналитична в ограниченной области с кусочно-гладким жордановым контуром и функции и непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в , то
Доказательство. Очевидно, все условия Утверждения в §4.3 соблюдены и, следовательно, имеет место формула Римана-Грина
Для аналитических функций двойной интеграл исчезает, так как .
Теорема доказана.
В интегральной теореме Коши речь идет об интеграле по контуру , целиком лежащем у внутри области аналитичности функции, между тем, часто приходится рассматривать интегралы вдоль кривых, на которых функция, оставаясь непрерывной, перестает быть аналитичной. Оказывается, интегральная теорема Коши остается в силе и для этого случая:
Теорема 1(вторая формулировка теоремы Коши).Если функция аналитична в области , ограниченной жордановой спрямляемой кривой , и непрерывна в , то интеграл от функции по равен нулю:
Для справедливости теоремы 1 существенную роль играет предположение об односвязности области .
Для многосвязных областей имеет место следующий вариант этой теоремы: