Пусть функция задана в промежутке и удовлетворяет условиям теоремы 1:
Пусть функция определена в промежутке и удовлетворяет следующим условиям.
10 . Функция −кусочно непрерывна и имеет ограниченное изменение в любой конечной части промежутка;
20 . Функция абсолютно интегрируема в промежутке. Тогда функция может быть представлена в виде разложения в интеграл Фурье:
где внешний интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, причем в точке разрыва первого рода левая часть этой формулы должна быть заменена подсуммой .
или теоремы 2:
Если функция имеет ограниченное изменение во всем бесконечном промежутке и, сверх того, выполняется предельное равенство , где - дельта-функция Дирака, то в каждой точке интеграл Фурье сходится и имеет значение .
Тогда имеет место интегральная формула Фурье , и, следовательно,
(4.5.1)
.
Пусть
(4.5.2)
Пусть, кроме того, , если , и ,если .
Рассмотрим интегралы
, (4.5.3)
, (4.5.4)
где .
Заметим, что интеграл (4.5.3) (или (4.5.4)) является несобственным интегралом, зависящим от переменной как от параметра. Очевидно, что интеграл (4.5.3) (или (4.5.4)), вообще говоря, сходится не при всех значениях параметра .
Имеет место
Теорема 3.Пусть функция удовлетворяет следующим условиям.
10. Функция кусочно непрерывна и имеет ограниченное изменение в любой конечной части промежутка
20. Функция абсолютно интегрируема в промежутке
30. Функция , если .
Тогда
1) если , то функция , определяемая формулой (4.5.3), является аналитической функцией в верхней полуплоскости - плоскости, причем в этой области она стремится к нулю при равномерно относительно ;
2) если , то функция является непрерывной функцией по и стремится к нулю при .
3) справедливо равенство
(4.5.5)
где интеграл берется вдоль любой прямой , параллельной действительной оси - плоскости.
Доказательство. Первая часть первого утверждения данной теоремы следует из:
1) из равномерной сходимости интеграла (4.5.3) для любого , ибо он в силу условия 20 мажорируется сходящимся интегралом:
не содержащим параметра ;
2) равномерной сходимости интеграла
где – любое натуральное число, для любого , поскольку этот интеграл в силу условия 20 мажорируется сходящимся интегралом:
для любого .
Так как функция в любой точке полуплоскости -плоскости обладает производной любого порядка , то она является аналитической функцией в этой полуплоскости. Действительно, представив функцию в виде
где
(4.5.6)
и вычислив производные убедимся в том, что функции и являются гармоническими функциями, удовлетворяющими условиям Коши- Римана:
.
Следовательно, функция является аналитической функцией в полуплоскости -плоскости.
Из (4.1.6) видно, что функции и стремятся к нулю при в любом случае (если, например, , то и стремятся к нулю в силу добавления к первой основной лемме – лемме Римана-Лебега, так как функция с учетом условия 20 является абсолютно интегрируемой функцией в промежутке ).
Первое утверждение данной теоремы доказано.
Второе утверждение данной теоремы доказано в книге В. Д. Кулиева «Сингулярные краевые задачи».
Теперь докажем справедливость равенства (4.5.5).
С помощью (4.5.3) и (4.5.6) получаем
(4.5.7)
Пусть . В этом случае в силу добавления к первой основной лемме – лемме Римана-Лебега, из (4.5.7) получаем
(4.5.8)
Пусть . В этом случае из (4.5.7) получаем
(4.5.9)
Второе слагаемое в (4.5.9) равно нулю в силу добавления к первой основной лемме – лемме Римана-Лебега.
Замечая, что функция имеет ограниченное изменение в промежутке , с помощью второй основной леммы Дирихле – и утверждения: для того, чтобы функция имела в промежутке ограниченное изменение, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в этом промежутке в виде разности двух монотонно возрастающих и ограниченных функций: ,(в силу второй основной леммы – леммы Дирихле – и утверждения).
находим
Следовательно,
(4.5.10)
Пусть . В этом случае формулу (4.5.7) представим в виде
. (4.5.11)
Пусть . Формулу (4.5.11) можно записать в виде
(4.5.12)
Здесь .
Функция имеет ограниченное изменение в промежутке с центром в точке . Замечая, что второе выражение (в силу добавления к первой основной лемме – лемме Римана-Лебега) в (4.5.12) равно нулю, и учитывая, что
(в силу первой основной леммы – леммы Римана-Лебега) равенство (4.5.12) можно записать в виде
(4.5.13)
Если функция в исследуемой точке непрерывна, то
(4.5.14)
Полученные результаты (4.5.8), (4.5.10), (4.5.13) и (4.5.14) доказывают справедливость равенства (4.5.5).
Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям.
10. Функция кусочно непрерывнаи имеет ограниченное изменение в любой конечной части промежутка ;
20. Функция абсолютно интегрируема в промежутке ;
30. Функция , если .
Тогда
1. если , то функция , определяемая формулой (4.5.4), является аналитической функцией в нижней полуплоскости - плоскости, причем в этой области она стремится к нулю при равномерно относительно .
2. если , то функция является непрерывной функцией по и стремится к нулю при .
3. справедливо равенство
где интегрирование производится по любой прямой , параллельной действительной оси - плоскости.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.
Теорема 5.Положим
Пусть функции и удовлетворяют условиям10, 30 теоремы 3 и теоремы 4 соответственно. Кроме того, условие 20 в теореме 3 заменим на условие
при
а в теореме 4 – на условие
при .
Тогда
1. Функция , определяемая формулой
является аналитической функцией комплексной переменной в области , причем в этой области она стремится к нулю при равномерно относительно .
2. Справедливо равенство
где интеграл берется вдоль любой прямой , параллельной действительной оси - плоскости.
3. Функция , определяемая формулой
является аналитической функцией комплексной переменной в области , причем в этой области она стремится к нулю при равномерно относительно .
4. Справедливо равенство
где интеграл берется вдоль любой прямой , параллельной действительной оси - плоскости.
5. Если то функция
где
является аналитической функцией комплексной переменной в полосе
6. В любой точке непрерывности функции справедливо равенство
,
а в любой точке разрыва первого рода функции - равенство
где интегрирование в последних двух формулах производится по любой прямой, параллельной действительной оси - плоскости, лежащей в полосе , и понимается в смысле главного значения. В частности, при и функция является аналитической в полосе , содержащей действительную ось - плоскости.
Только что сформулированная теорема имеет большое практическое значение при решении различных краевых задач уравнений математической физики.
В качестве примера рассмотрим интегральное уравнение Винера-Хопфа
(4.5.15)
ядро которого, функция зависит от разности и определено для всех значений своего аргумента .
Покажем, что решение этого интегрального уравнения с помощью теоремы 5 сводится к решению функционального уравнения Винера-Хопфа.
Введём функции
(4.5.16)
Уравнение (4.5.15), согласно (4.5.16), можно записать в виде
(4.5.17)
(4.5.18)
Функция определяется из решения интегрального уравнения (4.5.17), а выражается через функции , и с помощью квадратурной формулы (4.5.18). При этом имеет место соотношение
, (4.5.19)
эквивалентное исходному уравнению (4.5.15).
Пусть функция удовлетворяет условиям
при
(4.5.20)
при
где и . Тогда функция
в силу теоремы 5 будет аналитической в полосе , .
Кроме того, пусть
при
(4.5.21)
при
где , . Тогда функция
в силу этой же теоремы будет аналитической в полосе , .
Для определенности положим, что . Будем искать решение уравнения (4.5.15), удовлетворяющее условию
при (4.5.22)
где , не останавливаясь на доказательстве существования решения уравнения (4.5.17), обладающего указанным свойством. При этом интегралы в формулах (4.5.17) и (4.5.18) являются сходящимися, причем для функции имеет место оценка
при (4.5.23)
что легко получается из (4.5.18).
Из (4.5.22) и (4.5.23) следует, что преобразования Фурье
функции и в силу теорем 3, 4 являются аналитическими функциями комплексной переменной при и соответственно, а функция
аналитична в полосе , .
Для определенности положим, что .
Умножив (4.5.15) на и проинтегрировав по от до , получаем
(4.5.24)
Изменив в последнем слагаемом порядок интегрирования, представим этот интеграл в виде
.
Сделаем замену переменной интегрирования, положив .
Тогда
(4.5.25)
где
.