Сведения из теории вероятностей
1. Пусть – случайная величина и – некоторое её численное значение. Вероятность того, что примет значение, меньшее, чем , называютфункцией распределения вероятностей случайной величины и символически пишут:
. (4.6.1)
В дальнейшем будем предполагать, что F(x) дифференцируемая функция.
Функция , связанная с равенством , называется плотностью распределения вероятностей случайной величины . Очевидно
. (4.6.2)
По определению, вероятность может принимать лишь значения . Отсюда следует, что функция распределения является неотрицательной, ограниченной и, согласно (4.6.1) неубывающей функцией, а плотность – неотрицательна.
2. Плотность распределения суммы двух независимых случайных величин , непрерывно распределенных с плотностями соответственно равна свертке плотностей
, (4.6.3)
и равна дискретной свертке
(4.6.4)
когда распределения слагаемых дискретны.
В случае если плотности имеют в отдельных точках разрывы 1-го рода, в формуле (4.6.3), кроме интегрального члена, появляются ещё дискретные слагаемые, соответствующие разрывам плотности.
3.На практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, способными принимать лишь неотрицательные значения. Тогда при . Следовательно, функция распределения и плотность распределения в этом случае представляют собой правые односторонние функции, а их преобразования Фурье (характеристические функции) являются краевыми значениями функций, аналитических в верхней полуплоскости. Начало координат здесь, как правило, является точкой разрыва плотности и (при условии, что нет других разрывов) формула (4.6.3) принимает вид
. (4.6.5)
Среднее время пребывания в очереди.
Пусть в моменты времени в систему поступают требования на обслуживание. Введём следующие обозначения: − промежуток времени между поступлениями двух соседних требований, − длительность обслуживания r- го клиента, - длительность ожидания обслуживания.
Из простых соображений вытекает соотношение
(4.6.6)
где . (4.6.7)
Пусть – плотности распределения соответственно величин . Очевидно, при . Считаем, что при имеют определённые пределы . Из равенств (4.6.6) и (4.6.5) переходом к пределу при получаем для определения интегральное уравнение Винера – Хопфа:
(4.6.8)
Решаем его следующим образом. Заменяем на , доопределяем уравнение на отрицательной полуоси внесением в правую часть произвольной левой односторонней функции и берём от обеих частей равенства преобразование Фурье. Получаем краевую задачу Римана относительно
(4.6.9)
в классе функций, исчезающих на бесконечности.
Переходя к исследованию полученной краевой задачи, заметим, что, так как величина , согласно (4.6.7), представляет собой алгебраическую сумму двух случайных величин , , то её плотность распределения будет сверткой плотностей слагаемых , , соответственно:
В качестве можно взять плотность наиболее распространённого показательного закона, описывающего распределение величины промежутка времени между соседними событиями Пуассоновского потока Тогда
и краевое уравнение примет вид
(4.6.10)
Так как коэффициент и свободный член краевого условия аналитически продолжимы в комплексную плоскость, то решать будем способом аналитического продолжения без обращения к общим формулам. Не указывая точного значения функции , используем лишь два её очевидных свойства:
Отсюда следует, что (других нулей на оси, как легко показать, нет), и так как , то коэффициент задачи Римана (4.6.10) имеет индекс единицу и полюс на контуре интегрирования в начале координат. Следовательно, имеем дело с исключительным случаем. По теореме Лиувилля имеем
откуда следует, что
Определяя произвольную постояннуюСиз условия ограниченности решения в начале координат, получим , получаем
. (4.6.11)
Постоянную здесь можно определить из равенства .
Формула (4.6.11) позволяет вычислить искомое среднее время ожидания, а также другие представляющие интерес характеристик распределения (математическое ожидание, дисперсию и т. д.).
Вероятность наличия в обслуживающей системе n требований.
Обозначим через вероятности того, что в обслуживающей системе в момент времени t находится n требований (n=0,1,2,….). Для определения этих вероятностей составим систему линейных дифференциальных уравнений Колмогорова
(4.6.12)
где - постоянные коэффициенты, равные интенсивностям потоков, переводящих систему из состояния в состояние (рисунок 4.1).
| S0 |
| S1 |
| Sn-1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| λ |
| λ |
| λ |
| λ |
| λ |
| μ |
| μ |
| μ |
| μ |
| μ |
| μ |
| λ |
Рисунок 4.1.
Эта система достаточно известна – она, служит математической моделью для обширного класса задач, известных под названием процессов размножения и гибели. Поэтому, не останавливаясь на ее выводе, сразу перейдем к решению системы (4.6.12).
Примем, что в начальный момент в обслуживающей системе находится l требований, то есть
(4.6.12′)
последние равенства при решении системы (4.6.12) будут служить начальными условиями.
Представляя правые стороны уравнений (4.6.12) в виде дискретной свертки (4.6.4), запишем систему в виде
(4.6.13)
где при и при .
Для решения системы используем приемы решения дискретных уравнений свертки. Доопределяем равенства (4.6.13) на отрицательные значения индекса ппутем прибавления к правой части произвольной последовательности (п = — 1, —2, ...), затем умножаем все уравнения на соответствующие степени zи суммируем по всем п = 0, ±1, ... (преобразование Лорана). После некоторых несложных преобразований получим равенство
(4.6.14)
где – производная функция для последовательности . В силу вероятностных соображений ограничена, поэтому аналитична в единичном круге. Произвольная последовательность (n=-1,-2,…) берется такой, чтобы была аналитичной вне единичного круга.
Соотношение (4.6.14) представляет собой на единичной окружности краевую задачу типа задачи Римана. Умножая (4.6.14) на z, и применяя теорему об аналитическом продолжении и теорему Лиувилля, получим
.
Положив z=0, имеем
.
Для отыскания остается решить линейное дифференциальное уравнение
(4.6.15)
при начальном условии (4.6.12′), т.е. при . Искомые вероятности находятся как коэффициенты ряда Тейлора по формулам .
Рассмотренные задачи, характеризуемые наличием одного канала обслуживания и равными возможностями клиентов, принадлежат к числу простейших. Более сложный класс задач − хотя и с одним обслуживающим каналом, но с предпочтением, отдаваемым отдельным видам требований («приоритетные задачи»),– приводит к краевой задаче Римана для функций также одного переменного, но зависящих от ряда параметров. Многоканальное обслуживание при наличии различных требований приводит к краевым задачам для функций многих переменных.