Математический аппарат решения поставленной ниже задачи изложен в учебном пособии [27], глава 4.
Моделирование производства на макроуровне.
При математическом моделировании на макроуровне (однопродуктовая модель народного хозяйства в целом, межотраслевой баланс, где каждая отрасль представляется в виде одного продукта и одной технологии и др.) взаимосвязь между факторами производства и его результатом обычно отражают с помощью производственных функций (ПФ). При построении ПФ затраты производственных факторов на выпуск продукции в единицу времени всегда принимаются неотрицательными. Кроме того, при моделировании ПФ отсутствие всех производственных факторов (их нулевые значения) приводит к нулевому выпуску продукции – это очевидно. Отсутствие хотя бы одного фактора (но не всех) может приводить к нулевому выпуску продукции, а может и не приводить. Это зависит от специфики производственного процесса. Например, в условиях производства в агрессивных средах, где живой труд человека опасен для жизни и потому недопустим, полагают
при , где –живой труд, – капитал (работают приборы, оборудование). Если же имеет место, например, производство ковров ручной работы, в этом случае живой труд –главный фактор и при .
Полагают также, что факторы производства меняются непрерывно и выпуск продукции при этом изменяется достаточно гладко, что естественно при моделировании производства на макроуровне.
Экономически целесообразно также, чтобы с увеличением количества используемого ресурса (при неизменности прочих ресурсов), выпуск продукции рос, т.е. для дифференцируемой ПФ можно записать неравенства
, , (3.2.1)
где – капитал, – живой труд.
Эти ресурсы, как правило, наиболее существенные в производственном процессе, возможные остальные для простоты не учитываем.
Предположения (3.2.1), разумеется, справедливы в определенной области значений производственных факторов. Например, использование в фармацевтике и медицине малыми дозами некоторых ядов (наркотиков) в составе лекарств лечит человека, а большое – может привести к тяжелым заболеваниям вплоть до летального исхода; то же можно утверждать в отношении чрезмерного количества трудовых ресурсов, когда их излишек снижает эффективность производства, внося в него беспорядок и неорганизованность. Тем не менее будем предполагать исключительными подобные случаи, считая условия (3.2.1) в разумных пределах нормальными для практики.
Представленным формулами (3.2.1) условиям отвечают мультипликативные, так называемые неоклассические ПФ вида
, , , ,(3.2.2)
где –валовой выпуск продукции;
– выпуск продукции при единичных затратах капитала и живого труда;
и –эластичность выпуска продукции соответственно по капиталу и живому труду.
При >> производство называют капиталоемким, при << – трудоемким.
При ПФ (3.2.2) называют ПФ Кобба-Дугласа.
Неоклассическая ПФ дает возможность отразить эффект масштаба производства, который проявляется только при одновременном изменении факторов и . Пусть эти факторы изменяются в раз. Тогда
. (3.2.3)
Различные значения определяют следующие режимы развития экономики:
Ö если - имеет место интенсивный способ развития, т. е. сростом масштаба производства в раз выпуск продукции возрастает более чем в раз;
Ö если – производство неэффективное, т.е. выпуск продукции возрастает, но менее чем в раз;
Ö если (ПФ Кобба-Дугласа)– имеет место нормальное развитие экономики за счет интенсивных факторов производства [18].
Наблюдения показывают, что в условиях экстенсивного производства увеличение затрат только одного из факторов – приводит к снижению эффективности его использования, т. е.
, .
Такое явление называют эффектом насыщения. Оно означает, что каждая последующая единица возрастающего фактора соединяется с меньшим количеством другого фактора и его рост дает уменьшающийся прирост продукции. Например, при многостаночной организации производства значительное увеличение числа станков, приходящихся на одного рабочего в условиях неизменной технологии, квалификации работников и характеристик станков, уменьшают эффективность использования оборудования. Примерно то же происходит и в случае, когда руководитель производственного коллектива большую часть работы берет на себя, а не делегирует, хотя бы частично, другим сотрудникам.
Он при этом все сам не успевает или делает плохо– его возможности по управлению достигли предела.
Для экстенсивного развития характерно:
, (3.2.5)
Это означает, что при отсутствии факторов или при ихпоследующем приросте на бесконечно малую величину или скорость возрастания выпуска продукции становится бесконечно большой.
Наоборот, в случае чрезмерно большого возрастания факторов или
, (3.2.6)
прирост их эффективности снижается до нуля. Относительный прирост продукции возрастает в процентном отношении, что видно из следующего графика, отраженного на рисунке 3.1.
На рисунке 3.1. приведен график подобной функции в зависимости от аргумента при фиксированном значении другого аргумента .
Рисунок 3.1. Зависимость выпуска продукции от капитала
(при фиксированном значении живого труда )
Упомянутые выше коэффициенты эластичности ПФ по факторам и определяются как отношение предельной эффективности к средней:
, (3.2.7)
Рассмотренные ПФ имеют статический характер, в них в явном виде отсутствует показатель времени и не учитывается фактор научно-технического прогресса (НТП): производственные навыки, обусловленные длительностью моделируемого производственного процесса, образованность работников, общий уровень научно-технического развития общества и т.д.
Простейший способ компенсации всех названных недостатков –автономный НТП, когда статическая ПФ умножается на эмпирически возрастающую функцию времени . В большинстве случаев , где – темп роста НТП. Преимущество такого способа отражения в экономико-математических моделях динамики НТП – в его технической простоте (по существу не влияет на усложнение техники моделирования). Недостаток же – в сокрытии причин и качественных разновидностей НТП. Получается, что он возникает как бы из ничего, общество не затрачивает дополнительных ресурсов, что, очевидно, нереально.
В последующей части главы будут рассматриваться ПФ с учетом автономного НТП в виде
.(3.2.8)
На ограниченных отрезках времени (в основном до 5 лет) при статистически определенных значениях получаемые с использованием формулы (3.2.8) результаты оказываются удовлетворительными, по меньшей мере, на качественном уровне.
Оптимизационная модель макроэкономической динамики.
Магистральная теория.
В качестве практического применения достаточных условий оптимальности рассмотрим однопродуктовую экономическую систему, непрерывную по времени, близкую к модели Солоу-Севана [34].
С формальной точки зрения данная модель представляет пример задачи, линейной по управлению, с ограничениями на управление. В содержательномже отношенииэто характерная модель экономической динамики.
Итак, пусть в экономической системе производится в единицу времени валовой продукт . В соответствии с уравнением межотраслевого баланса он разделяется на две части:
(3.2.9)
где –часть валового продукта, необходимая для производства (например, используется в качестве сырья или полуфабрикатов для последующего производства);
0< <1 – коэффициент прямых затрат;
–конечный продукт, используемый в непроизводственной сфере: для обеспечения жизнедеятельности общества, создания запасов и резервов, обороны, внешней торговли, в инвестированной деятельности и др.
В структуре конечного продукта выделим две важнейшие составляющие:
(3.2.10)
где – часть конечного продукта, идущая на непроизводственное текущее потребление;
– часть, идущая на инвестиции.
В формуле (3.2.10) можно выделить и другие составляющие, например, инвестиции, идущие на развитие науки и техники, что, в свою очередь, влияет на развитие научно-технического прогресса (так называемого, овеществленного). Однако, последнее не является структурной составляющей создаваемой модели, и мы ограничиваемся формулой (3.2.10).
Обозначим через – количество основных производственных фондов (капитал) в системе в момент . Будем считать, что прирост капитала в единицу времени равен количеству инвестиций в момент минус их часть, идущую на амортизацию (восстановление или ремонт уже имеющихся основных производственных фондов)
(3.2.11)
где – коэффициент амортизации, заданное число.
Допустим, как уже отмечалось в п. 3.2.1, задана отвечающая автономному НТН производственная функция
, (3.2.12)
где – количество трудовых ресурсов в момент .
Таким образом, в соответствии с формулами (3.2.9) – (3.2.12) получаем:
откуда
или
(3.2.13)
Формула (3.2.13) представляет уравнение процесса. В ней – внешний фактор, количество трудовых ресурсов, которое будем считать заданным; –состояние, – управление.
Таким образом, сущность управления отвечает принимаемому в момент решению, какую часть конечного продукта следует направить на текущее потребление и, соответственно, сколько на инвестиции.
Поскольку речь идет об оптимальном выборе, продолжим формирование оптимизационной модели.
Поскольку, с одной стороны, , а с другой тоимеем ограничения на управление
(3.2.14)
Будем считать, что , где – темп роста народонаселения. В течение рассматриваемого периода времени будем предполагать .
Функция имеет вид
, (3.2.15)
В этом случае, согласно п.3.2.1, имеем дело с ПФ Кобба-Дугласа с учетом автономного научно-технического прогресса, что соответствует нормальному развитию экономики.
В результате всех проведенных выкладок имеем
или
,(3.2.16)
где .
Пусть заданы начальное и конечное условия:
. (3.2.17)
Таким образом, объединяя в совокупность все приведенные выше формулы (5.14), ограничение на состояние , (3.2.15), (3.2.16), (3.2.17) получаем:
а) уравнение процесса:
б) ограничение на состояние:
в) ограничение на управление:
г) граничные условия:
.
При ограничениях а)– г) в качестве критерия оптимальности управления зададим максимизацию дисконтированного средневзвешенного душевого потребления в течение планового периода :
д)
где – коэффициент дисконтирования. Он указывает, что с возрастанием величины степень важности потребления благ уменьшается с точки зрения планирования в настоящий момент.
Теперь в виде соотношений а) – д) задача поставлена полностью. Чтобы иметь возможность в дальнейшем сопоставлять уровни экономического развития больших и малых стран, перейдем в поставленной задаче к показателям на душу населения. Введем обозначения:
– фондовооруженность на одного работающего;
–среднедушевое потребление.
Итак,
; ; .
Соответственно, ограничения а)–г) и функционал д) преобразуется следующим образом:
а) – уравнение процесса;
б) ограничение на состояние:
в) ограничение на управление:
г) граничные условия:
д) функционал:
Условия а) –д) представляют задачу, линейную относительно управления с, с ограничениями на управление в).
Для построения «усов» необходимо решить уравнение процесса а) для вариантов
и .
В случае получаем нелинейное дифференциальное уравнение Бернулли:
. (3.2.18)
Его линеаризация осуществляется посредством следующей постановки:
. (3.2.19)
Выражения (3.2.19) подставляем в уравнение (3.2.18) и после сокращения на получаем относительно линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
. (3.2.20)
Общее решение неоднородного уравнения (3.2.20) состоит из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения :
. (3.2.21)
Для нахождения общего решения однородного уравнения составляем характеристическое уравнение:
, (3.2.22)
откуда
и соответственно
. (3.2.23)
где –произвольная постоянная интегрирования.
В соответствии с видом правой части уравнения (3.2.20) частное решение неоднородного уравнения ищем виде
(3.2.24)
где – искомая величина, подлежащая определению.
Подставляем выражение (3.2.24) в уравнение (3.2.20), сокращаем слагаемые в левой и в правой частях на и получаем:
. (3.2.25)
Используя формулы (3.2.21), (3.2.23), (3.2.24) и (3.2.25),получаем общее решение неоднородного уравнения:
. (3.2.26)
Согласно (3.2.19) и (3.2.26) формула для фондовооруженности имеет вид:
. (3.2.27)
Обратим внимание, что при (асимптотическое поведение) при любом значении первое слагаемое в (3.2.27)стремится к нулю, а второе – к бесконечности. Из начального условия определяем и тем самым получаем уравнение кривой . Заметим, что аналитическое вычисление произвольной постоянной интегрирования вряд ли возможно, но численным методом можно рассчитать с приемлемой
точностью.
Аналогичным образом определяется из конечного условия
и тем самым получаем уравнение «уса» .
Для построения «усов» и подставим в уравнение
процесса
а)
и получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
. (3.2.28)
Его общее решение
. (3.2.29)
Значение произвольной постоянной вычислим два раза, исходя из условий
и ,
при этом определяется по формуле (3.2.29).
В конечном итоге будем иметь:
; . (3.2.30)
В результате получим допустимую область значений (рисунок3.2).
Теперь перейдем к построению функции .
Согласно условиям задачи а) – д) настоящего параграфа имеем:
;
; .
Отсюда согласно получаем:
. (3.2.31)
k |
t |
T |
k |
k |
k |
Рисунок3.2. Допустимая область значений фондовооруженности (находится внутри отштрихованных значений , ; ).
Максимизация функции осуществляется по при фиксированном значении . Поэтому множитель при фиксированном значении можно опустить и рассматривать функцию
. (3.2.32)
Формула (5.32) состоит из двух слагаемых:
линейной части
и нелинейной
Их графики и сумма показаны на рисунке 3.3.
Рисунок3.3. Графики функций , , , .
В точке : в ней достигается единственный безусловный максимум функции .
Проведем соответствующие вычисления:
отсюда , где . (3.2.33)
Определенную по формуле (3.2.33) функцию называют уравнением магистрали.
Магистраль – это такая зависимость , по которой шло бы развитие фондовооруженности при отсутствии ограничений на душевое потребление. Согласно приведенному ранее функция играет роль управления.
Магистраль представляет собой равномерный рост фондовооруженности с темпом . В частности, если НТП отсутствует, т.е. , .
Определим, чему равно на магистрали управление (душевое потребление). Из уравнения процесса а) имеем:
. (3.2.34)
Подставляя в (3.2.34) вместо значение (3.2.33), получаем:
(3.2.35)
Как видно из (3.2.35), на магистрали относительное душевое потребление растет с тем же темпом , что и фондовооруженность. В случае (нет НТП) душевое потребление на магистрали с = const.
Зная магистраль, легко находим оптимальное решение: там, где магистраль лежит внутри заштрихованной области на рисунке 3.2, она является и оптимальным решением. Если она лежит вне заштрихованной области, на этих участках оптимальное решение проходит по ближайшей к магистрали границе. На рисунке3.4 оптимальное решение показано жирной линией.
Аналитический вид функции задается формулой (3.2.36):
. (3.2.36)
k |
t |
T |
k |
k |
k |
Рисунок3.4. Оптимальное значение фондовооруженности .
Соответственно функция оптимального душевого потребления имеет вид
. (3.2.37)
Если магистраль проходит выше начального условия и нижеконечного , а именно этот случай содержательно наиболее интересен, то оптимальный режим управления экономикой заключается в следующем: сначала максимально развиваются производственные фонды (капитал), а потребление равно нулю, форсированно доходим до магистрали в момент . Далее до момента развитие идет по магистрали: с постоянным темпом (формула (3.2.34)) растут потребление и фондовооруженность. При ≤ t ≤ весь конечный продукт можеттратиться на потребление. Читателю предлагается самостоятельно рассмотреть случаи > и > .
Глядя на рисунок3.4, можно представить такую образную картину сути магистрали и магистрального функционирования экономики. Допустим, что мы находимся в начальном пункте и нам нужно на автомобиле переехать в конечный пункт . Неподалеку от проходит автотрасса– аналог в данном случае магистрали. Мы оптимальным образом от по местной дороге доезжаем до автотрассы, далее в момент выезжаем на магистраль и едем по ней до момента , после чего съезжаем с магистрали и по местной дороге – добираемся до конечного пункта . Эта интерпретация дает интуитивное представление об оптимальном развитии экономики.
Экспериментальные расчеты по оценке оптимального развития США за период 22 года (1947 – 1968) на примерах внутренней частной и несельскохозяйственной экономики были проведены согласно изложенной методике и отражены в [18].
Сравнение с реальным развитием экономики США за этот период, конечно, не отвечает адекватному совпадению результатов, но на качественном уровне их можно считать приемлемыми. Различие примерно в 2 раза: расчетные данные более оптимистичные, чем фактические. Оно объясняется, по-видимому, не вполне точным совпадением фактических и расчетных исходных данных по фигурирующим в модели показателям, прежде всего качественной оценкой производственных функций и средствами описания НТП.