Модель А

L=;

Пример. Механик автомастерской обслуживает в среднем 3 автомобиля в час (m=3) согласно обязательному эксклюзивному распределению. Автомобили появляются на обслуживание в среднем по две единицы в час (l=2) в соответствии с распределением Пуассона и обслуживаются по правилу FIFO. Определить характеристику данной системы массового обслуживания.

автомобиля в системе

час проводит клиент в системе

автомобиля в очереди

=часа проводит клиент в очереди

или 66,6% времени механик занят обслуживанием

или 33,4% механик простаивает

при k=1

при k=2

при k=3 и т.д.

Пример. Владелец автомастерской установил, что затраты в терминах неудовлетворенности клиента и потери им хорошего настроения составляет 10$ за час времени, проведенного в очереди. Механик зарабатывает 7$ в час. Определить общие затраты на функционирование системы в течение 8 часов, используя данные предыдущего примера. Стоит ли нанимать второго механика в помощь первому?

Решение. 1) ранее получено W_q=часа

Затраты на заработную плату механика

7$8ч = 56$/день

Затраты на компенсацию потерь клиентов

$ = 106,67$

Суммарные затраты по первому варианту 162,67$.

2) по второму варианту l = 2 авт./ч, m = 2*3 = 6 авт./ч

часа

Затраты на заработную плату механикам

2*7$*8ч = 112 $/день

Затраты на компенсацию потерь клиентов

*2*8*10$ = 13,33 $/день

Суммарные затраты по варианту 2: 125,33 $.

Наем второго механика выгоден.

Модель В.

для ,

где M – число каналов обслуживания.

Пример. Автомастерская открывает второй канал обслуживания (каждый механик самостоятельно обслуживает автомобиль). Используя данные предыдущих примеров, определить параметры системы массового обслуживания. Эффективен ли наем второго механика?

автомобиля

ч.

Затраты на функционирование системы составят

Z_S = 2*7*8 + 0,0415*2*8*10 = 118,64 $,

следовательно, работа механиков раздельно является более эффективной, нежели их совместная работа.

Модель С.

Пример.Транспортное предприятие производит разгрузку автомобилей, каждый из которых ожидает разгрузки в среднем 15 мин. Затраты простоя автомобиля составляют 60 $/ч. Планируется закупить разгрузчик производительностью 12 автомобилей в час. Автомобили появляются в соответствии с распределением Пуассона по закону 8 автомобилей в час. Если использовать разгрузчик, то затраты на его амортизацию составят 3 $ на разгрузку. Стоит ли закупать разгрузчик?

Решение:

1) при отсутствии разгрузчика затраты составляют

на автомобиль (на разгрузку)

2) при использовании разгрузчика l = 8 авт./ч, m = 12 авт./ч.

Общие затраты на систему составят

Вывод: разгрузчик следует закупить, поскольку экономия может составлять 7 $ на разгрузку автомобиля.

Модель D.

Введем следующие обозначения:

D - вероятность того, что клиент будет ожидать в очереди;

F - коэффициент эффективности;

H - среднее число обслуженных клиентов;

J - среднее число обслуживаемых клиентов;

L - среднее число клиентов, ожидающих обслуживания;

M - число каналов обслуживания;

N - число потенциальных клиентов;

T - среднее время обслуживания;

U - среднее время между поступлениями клиентов на обслуживание;

W - среднее время пребывания клиентов в очереди;

X - сервисный показатель.

Для расчета основных параметров модельной системы массового обслуживания «D» следует выполнить следующие этапы:

1) рассчитать сервисный показатель х (формула (40));

2) по параметрам Х и М по специальной таблице найти значение D и F;

3) рассчитать интересующие исследователя параметры в соответствии с формулами (41) – (45).

Пример. Каждый из пяти лазерных принтеров требует обслуживания примерно через 20 часов работы. Выход принтеров из строя соответствует распределению Пуассона. Один механик может обслужить принтер в среднем за 2 часа в соответствии с отрицательным экспоненциальным распределением. Остановка принтера обходится в 120$/час. Заработная плата механика – 25 $/час. Следует ли принять на работу второго механика?

Решение: Т=2 ч; U=20 ч; х =(0,09)