Определение устойчивости частотными методами основан на вспомогательной теореме, известной как принцип аргумента.
Пусть характеристическое уравнение системы имеет следующий вид и найдены корни этого уравнения:
|
где - корни характеристического уравнения Q(p) = 0.
Амплитудная и фазочастотная характеристика характеристического уравнения запишется в виде:
|
При изменении частоты изменяется и амплитуда и фаза. Определим, как изменяется фаза, при изменении частоты от - ∞ до + ∞.
Пусть один из корней имеет отрицательную действительную часть (например ). Вектор этого корня в комплексной плоскости расположен слева от мнимой оси (в левой полуплоскости) (рисунок 6.2).
При изменении частоты от - ∞ до + ∞ вектор будет скользить по мнимой оси и повернется против часовой стрелки (в положительном направлении) на угол плюс π радиан.
|
Если таких корней будет «k» и фаза каждого вектора повернется на угол π, то результирующий вектор повернется против часовой стрелки на угол k×π радиан.
Пусть один из корней имеет положительную действительную часть (например ). Вектор этого корня в комплексной плоскости расположен справа от мнимой оси (в правой полуплоскости) (рисунок 6.2).
При изменении частоты от - ∞ до + ∞ вектор будет скользить по мнимой оси и повернется по часовой стрелки (в отрицательном направлении) на угол -π радиан.
Если таких корней будет «l» и фаза каждого вектора повернется на угол -π, то результирующий вектор повернется по часовой стрелки на угол -l×π радиан.
Таким образом, фаза характеристического уравнения при изменении частоты от - ∞ до + ∞ повернется угол «k×π - l×π» радиан. Учитывая, что
|
получается:
|
Если диапазон изменения частоты уменьшить в 2 раза, то:
|
Итак, принцип аргумента можно сформулировать так:
Аргумент (фаза) характеристического уравнения при изменении частоты от 0 до ∞ изменяется на угол радиан.