Оценка корневым методом

Оценка качества процесса регулирования по расположению нулей и полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Замкнутую передаточную функцию можно представить в виде:

 

(7.1)

.

 

Переходной процесс будет описываться следующим уравнением:

 

(7.2)

,

 

где p_i – корни характеристического уравнения.

Если есть комплексно-сопряженные корни, то переходной процесс:

 

(7.3)

,

 

где -a_k±w_k=p_k – комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения.

1ВЫВОД: если имеются комплексно-сопряженные корни, то переходной процесс будет колебательным.

Итак, переходной процесс представляет собой сумму экспонент с разной длительностью затухания. Следовательно, оценить время переходного процесса можно по самой медлительной составляющей. При входе в 1-5% зону значение экспоненты будет равно , откуда время регулирования:

 

(7.4)

.

 

2 ВЫВОД: время переходного процесса можно оценить по наименьшему значению реальной части корней характеристического уравнения. Для повышения быстродействия необходимо добиться увеличения этого значения.

Очевидно, что если представить САУ с помощью набора звеньев, то найдя звено с наибольшей постоянной времени можно также оценить время переходного процесса.

Число колебаний и колебательность системы можно оценить, зная мнимую часть корня самой медленной составляющей переходного процесса. Период колебаний:

(7.5)

.

Колебательность подразумевает число колебаний системы во время T_p и, чем больше система сделает колебаний, тем больше колебательность. Очевидно, что чем больше период колебаний, чем менее колебательная система и, чем быстрее происходит затухание колебаний, тем менее колебательная система. Для оценки определим во сколько раз изменилась амплитуда синусоиды за время, равное T_p:

 

(7.6)

.

 

Очевидно, что, чем меньше значение предыдущего выражения, тем быстрее происходит затухание колебаний. Следовательно, можно ввести показатель колебательности:

 

(7.7)

,

 

который оценивает колебательность системы: чем он больше, тем выше колебательность. Рассмотрим параметр m для колебательного звена:

 

.

 

При e=0 m=¥, при e=1, m=0.

3 ВЫВОД: колебательность системы оценивается по корню самой медленной составляющей. Колебательность сохраняется при сохранении пропорции, между мнимой и реальной частью данного корня. Поэтому для получения требуемой колебательности необходимо, чтобы все корни на комплексной плоскости лежали в пределах лучей с углами наклона j=arctg m. (рисунок 7.1).