Частотные методы

Переходную характеристику можно выразить через ВЧХ:

 

(7.8)

.

 

Из данного уравнения можно видеть, что переходной процесс можно построить при известной вещественной частотной характеристике.

ВЫВОД: оценить качество переходного процесса можно по форме вещественной частотной характеристики замкнутой системы.

Для оценки переходного процесса по ВЧХ замкнутой системы ее необходимо построить.

Пусть

(7.9)

,

где H(w) – АЧХ разомкнутой системы;

Q(w) – ФЧХ разомкнутой системы.

Проведя тригонометрические преобразования уравнения (7.9) ВЧХ замкнутой системы можно представить следующим образом:

(7.10)

 

По формуле (7.10) построена номограмма для определения ВЧХ замкнутой системы с единичной обратной связью по ЛАФЧХ разомкнутой системы L_р=20lgH(w), Q(w) /1/.

Алгоритм построения для системы с обратной связью, отличной от единицы:

1. строятся L_р(w), j_р(w) как сумма логарифмических характеристик прямого (L_п, j_п) и обратного каналов (L₀, j₀),

2. для конкретной частоты откладываются по осям номограммы эти значения, ищем точку с этими координатами, определяем ближайшее значение P и Q,

3. определяем. Значения P₀ и Q₀ можно определить по номограммам в /1/ в зависимости от значений L₀ и j₀;

2. повторяем п. 2-3 для других частот.

 

другой способ: определяем логарифмические характеристики замкнутой системы по номограмме замыкания, потом по номограммам в /1/ строим ВЧХ.

Выделим несколько свойств ВЧХ, которые позволят оценить качество САУ:

1) установившиеся значение переходного процесса будет равно значению ВЧХ при w=0;

2) начальное значение ПХ определяется значением ВЧХ в точке w=¥ (чаще всего равно 0);

3) перерегулирование при невозрастающей ВЧХ (P³0, dP/dw£0) не превышает 18%;

4) переходной процесс будет происходить без перерегулирования, если ВЧХ будет монотонно убывающей, т.е. dP/dw<0. Для ВЧХ, имеющей форму треугольника, переходной процесс будет происходить без перерегулирования;

5) время переходного процесса для трапецеидальной ВЧХ будет находится в интервале: . Время регулирования тем больше, чем больше коэффициент (кси)(см. рисунок 7.2);

6) при изменении масштаба по оси ординат ВЧХ, также изменяется масштаб по оси ординат переходной характеристики (ПХ):

 

(7.11)

;

 

7) при увеличении масштаба по частоте w в «n» раз, во столько же раз уменьшится масштаб по оси времени ПХ:

(7.12)

;

8) любая ВЧХ может быть представлена алгебраической суммой трапециидальных ВЧХ;

9) переходные характеристики для ВЧХ, отличающихся в области высоких частот (больше частоты положительности), будут отличаться только в начальные моменты времени, а показатели качества будут примерно одинаковыми;

10) Переходные характеристики для ВЧХ, отличающихся в области низких частот, будут существенно отличаться друг от друга и соответственно иметь разные показатели качества.

ВЫВОДЫ:

1) по P(0) определяется h_уст;

2) по P(¥) определяется h(0);

3) наличие максимума P_max и минимума P_min свидетельствует о перерегулировании и колебательности, и, чем больше размах, тем больше перерегулирование s_m:

 

(7.13)

;

 

4) время регулирования оценивается по w_п, более точно по номограммам Солодовникова (необходимо знать частоту среза w_c);

5) чем круче идет ВЧХ в области частоты положительности, тем больше время регулирования и колебательность.