Свойства непрерывного преобразования Лапласа

В основе операционного исчисления лежит интегральное преобразование Лапласа, которое является развитием преобразования Фурье.

В общем виде оно может быть представлено в виде выражения

_¥

Fx(s) = ò e^-st F(t) dt.

⁰

Преобразование Лапласа имеет следующие свойства:

1. Однозначность L[F(t)] = F(s), L^-1[F(s)] = F(t);

2. Линейность

_{n n n n}

S a_iFi(s) = L[S a_iFi(t) ], S a_iFi(t) = L^-1[S a_iF(s) ];

^{i=1 i=1 i=1 i=1}

3. Дифференцирование L[dF(t)/ dt] = sF(s);

4. Интегрирование

L[ ò F(t) dt ] = F(s)/s

⁰

5. Свертка оригиналов L[ F1(t)*F2(t) ] = F1(s)×F2(s);

6. Умножение оригиналов

_x+j_w

L[F1(t)×F2(t)] = [ò F1(s)×F2(s-s) ds]/[2pj];

^x-j^w

7. Смещение L[F(t-q)] = e^-st F(s).

Примеры получения отображений по оригиналам

_¥ _¥

1)L[1(t)] = ò 1×e-st dt = - [òe-st d(st)]/s = -(0 - 1)/s = 1/s;

^{0 0}

_¥ _¥

2)L[e^-bt] = ò e^-st e^-bt dt = ò e^-(s+b)t dt =

^{0 0}

_¥

= - [ò e^-(s+b)t dt]/[s+b] = - [0 - 1]/[s+b] = 1/[s+b];

⁰

_¥ _¥

3)L[sin(wt)] = ò e^-st sin(wt) dt = [ò (e^j^w^t - e^-j^w^t)e^-stdt]/[2j]=

^{0 0}

_¥ _¥

=[ò e(jw-s)t dt – ò e-(jw-s)t dt]/[2j]=[1/(s-jw)-1/(s+jw)]/[2j] = w/(s²+w²).

^{0 0}

[(ejwt-e-jwt) = 2jsin(wt)]; sin(wt) = (e ^j^w^t– e ^-j^w^t)/2j.

При нулевых начальных условиях (F(t) = 0 при t £ 0) и отсутствии у функции F(jw) полюсов справа от мнимой оси комплексной плоскости преобразование Фурье совпадает с преобразованием Лапласа, если p = jw. Такое предположение справедливо для многих аналитических функций, применяемых для математического описания САУ. Большинство из них приведено в следующей таблице, где p = s.

Таблица преобразования Лапласа непрерывных функций

№ п/п	G(t)	G(p)
	d(t – kT)	e^-kTp
	d(t)
	1(t)	1/p
	t	1/p²
	e^-at	1/(p+a)
	te^-at	1/(p+a)²
	1 – e^-at	a/[p(p+a)]
	t – (1 – e^-at)/a	a/[p²(p+a)]
	e^-at + e^-bt	[(b-a)]/[(p+a)(p+b)]
	(c-a)e^-at+ (b-c)e^-bt	[(b-a)(p+c)]/ /[(p+a)(p+b)]
	1 – {b/[a – b]}e^-at – {a/[a – b]}e^-bt	ab/[p(p+b)(p+c)]
	c + {[b(c – a)]/[a – b]}e^-at + {[a(b – c)]/[a – b]}e^-bt	[ab(p+c)]/[p(p+a)(p+b)]
	e^-at/[(b – a)(c – a)] + + e^-bt/[(c – b)(a – b)] + + e^-ct/[(a – c)(b – c)]	1/[(p+a)(p+b)(p+c)]
	{[d – a]/[(b – a)(c – a)]}e^-at+ + {[d – b]/[ (c – b)(a – b)]}e^-bt+ + {[d – c]/[(a – c)(b – c)]}e^-ct	[(p+d)]/ /[(p+a)(p+b)(p+c)]
	1 – {[bc]/[(b – a)(c – a)]}e^-at – – {[ca]/[(c – b)(a – b)]}e^-bt – – {[ab]/[(a – c)(b – c)]}e^-ct	abc/[p(p+a)(p+b)(p+c)]
	1 – (1 + at)e^-at	[a²]/[p(p+a)²]
	e^-bt – e^-at + (a-b)te^-at	[(a-b)²]/[(p+b)(p+a)²]
	sin(w₀t)	w₀/[p² + w₀²]
	cos(w₀t)	p/[p² + w₀²]
	1 – cos(w₀t)	w₀² /[p(p²+w₀²)]
	a[1 – sec (f) cos(w₀t + f)], где f = arctg [w₀/a]	[w₀²(p+a)]/[p(p2+w₀2)]
	e^-atsin(w₀t)	w₀/[(p+a)²+w₀²]
	e^-atcos(w₀t)	[p+a]/[(p+a)²+w₀²]
	b[1 – e^-atsec (f) cos(w₀t + f)], где f = arctg [a²+ w₀²– ab]/[bw₀]	[(a²+w₀²)(p+b)]/ /{p[(p+a)²+w₀²]}
	1 – e^-atsec (f) cos(w₀t + f), где f = arctg [a/w₀]	[a²+w₀²]/ /{p[(p+a)2+w₀²]}
	e^-bt – e^-atsec (f) cos(w₀t + f), где f = arctg [(b – a)/w₀]	[(a – b)²+w₀²]/ /{(p+b)[(p+a)²+w₀²]}
	c + {[a²(a – b)]/[(a – b)²]}e^-bt+ + {[ab(c – a)+bc(a – b)]/[(a – b)²]}e^-at+ + {[ab(c –a)]/[a – b]}te^-at	[a²b(p+c)]/ /[p(p+b)(p+a)²]
	1 – {[a²]/[(a – b)²]}e^-bt + + {[ab + b(a – b)]/[(a – b)²]}e^-at + + {[ab]/[a – b]}te^-at	[a²b]/[p(p+b)(p+a)²]
	d – {[bc(d – a)]/[(b – a)(c – a)]}e^-at– – {[ca(d – b)]/[(c – b)(a – b)]}e^-bt – – {[ab(d – c)]/[(a – c)(b – c)]}e^-ct	[abc(p+d)]/ /[p(p+a)(p+b)(p+c)]