Математическое описание случайных процессов в САУ

 

Всякая реальная система управления подвержена воздействию внешних помех. Множество физических процессов, протекающих в окружающей среде, накладываются друг на друга и образуют изменяющееся случайным образом возмущающее воздействие на систему управления.

Такого рода возмущениями могут быть, например, произвольное изменение нагрузки на объект управления, случайные колебания мощности источника энергии управления и т. п.

В тех случаях, когда пренебрежение перечисленными воздействиями недопустимо, систему управления следует рассматривать как стохастическую и для ее исследования и синтеза применять математический аппарат теории вероятностей. Применение математического аппарата теории вероятностей позволяет осуществить достаточно точное описание системы управления, подверженной случайным воздействиям, а также обеспечивает синтез системы с требуемым качеством управления.

Как известно, система управления может находиться в переходном или установившемся состояниях. Математический аппарат теории вероятностей, применяемый для описания переходных состояний системы весьма сложен и в инженерной практике не применяется. В связи с этим при инженерных расчетах стохастических систем рассматривают поведение систе­мы в установившемся режиме, называемом стационарным.

Пусть на систему или динамический элемент действует возмущающее воздействие X(t), величина которого изменяется по случайному закону, т.е. каждое последующее значение не зависит от предыдущего.

Если многократно записать реализацию этого процесса при постоянных условиях функционирования системы или элемента, то можно получить множество случайных функций x₁(t), x₂(t),....

Для описания таких случайных функций выбирают на ней любой достаточно большой интервал времени «Т» и, пользуясь математическим аппаратом теории вероятностей, определяют среднее значение функции x(t) по мно­жеству ее измерений, которое называют статистическим средним или мате­матическим ожиданием.

Другой оценкой случайной функции служит ее среднее значение по времени, которое определяется по одной реализации случайного процесса на достаточно большом интервале времени по формуле

 

_+T

х = lim [òx(t)dt]/[2T].

^{T ® ¥ -T}

Если для всех случайных функций, полученных при реализации случайного процесса, функции распределения вероятностей одинаковы, т.е. не зависят от выбора момента начала интервала наблюдения, то такой случайный процесс называется стационарным. Типичным стационарным случайным процессом является так называемый белый шум. Он представляет собой случайный процесс изменения некоторой случайной величины, в котором отсутствует какая-либо связь между ее предыдущим и последующим значениями.

В стационарном случайном процессе среднее статистическое значение изменяющейся величины x(t) равно среднему ее значению по времени.

Это положение о равенстве среднего статистического и среднего по времени для стационарных случайных процессов базируется на гипотезе эргодичности, которая утверждает, что среднее по множеству реализаций случайного процесса совпадает со средним по времени одной реализации.

Смысл этого утверждения сводится к тому, что для стационарного случайного процесса исследование большого числа произвольно выбранных реализаций случайной функции в фиксированный момент времени дает такие же результаты, что и исследование всего одной реализации в течение достаточно длительного интервала времени наблюдения.

 

Для стационарного случайного процесса характерно, что среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значе­ния является постоянной величиной и вычисляется по формуле

_+T

s = lim [ò [x(t) – x]²dt]/[2T].

^{T ® ¥ -T}

Кроме того, для оценки случайного процесса пользуются понятием корреляционной функции R(q), которое физически выражает усредненные энергетические свойства случайных процессов, дает возможность судить о скорости изменения случайной величины и характеризует связь между двумя ее значениями x(t) и x(t + q).

 

С математической точки зрения корреляционной функцией называют среднее по времени произведения двух значений случайной величины x(t) и x(t + q), т.е.

_+T

R(q) = lim [ò x(t)x(t + q)dt]/[2T].

^{T ® ¥ -T}

Поскольку вид корреляционной функции определяется видом случайной функции, то естественно, что для различных случайных функций получают­ся разные корреляционные функции. При исследовании конкретного случай­ного процесса для всех его реализаций получается одна корреляционная функция.

Корреляционная функция R(0) имеет следующие свойства:

1. Значение корреляционной функций при q=0, т.е. R(q)|_q=0 =R(q), равняется среднему по времени значению квадрата случайной функции, т.е.

_+T

R(q)|_q=0 = R(0) = lim [ò x(t)x(t + q)dt]/[2T] =

^{T ® ¥ -T}

_+T

= lim [ò x(t)²dt]/[2T] = х².

^{T ® ¥ -T}

 

2. Значение корреляционной функции при q = ¥ равно квадрату среднего значения по времени случайной функции x(t), т.е.

 

R(q)|_q=¥ = R(¥) = x₂.

 

3. Значение корреляционной функции R(q) при любой величине q рав­но или меньше значения функции R(0) при q ¹ 0, т.е.

 

R(q) < R(0).

 

4. Чем более инерционен объект, через который проходит случайный сиг­нал, тем при прочих равных условиях R(q) будет больше.

 

5. Корреляционная функция R(q) является четной функцией о, т.е.

 

R(q) = R(-q).

 

Справедливость указанных свойств вытекает из самого определения корреляционной функции.

При рассмотрении каких-либо двух стационарных процессов пользуют­ся понятием взаимной корреляционной функции, определяемой следующим выражением:

_+T

R_1,2(q) = lim [ò x₁(t)×x₂(t + q)dt]/[2T],

^{T ® ¥ -T}

где x₁(t) и x₂(t + q) - две случайные функции рассматриваемых стационарных процессов.

Если корреляционную функцию отнести к ее значению при q = 0, то это отношение называют нормированной корреляционной функцией

R_н(q) = R(q)/R(0).

Другой важной характеристикой случайного стационарного процесса служит так называемая спектральная плотность S(w).

Понятие о спектральной плотности связано с разложением графика стационарного случайного процесса на гармонические составляющие, по­добно обычному преобразованию Фурье.

Применение функции S(w) при расчетах САУ, находящихся под воз­действием случайных величин, позволяет применять частотные методы ана­лиза.

Математическое определение спектральной плотности случайной функ­ции x(t) имеет следующий вид:

_+T

S(w) = lim ò |x(t)|²e^-jwtdt.

^{T ® ¥ -T}

Аналогично вводится понятие взаимной спектральной плотности

_+T

S_1,2(w) = lim ò x₁(t)x₂(t)e^-jwtdt,

^{T ® ¥ -T}

Принимая во внимание понятие взаимной корреляционной функции, можно установить связь между ней и спектральной плотностью:

_+¥

S_1,2(w) = lim ò R_1,2(q)e ^-jwtdt,

^{T ® ¥ -¥}

поскольку предел произведения x₁(t)×x₂(t + q) характеризуется взаим­ной корреляционной функцией R_1,2(q).

Следует заметить, что с чисто математической точки зрения

 

S_1,2(w)=S_2,1(-w).

 

Согласно определению интеграла Фурье находится обратная формула

_+¥

R_1,2(q) = [ò S_1,2(w)e ^jwtdw]/[2p].

^-¥

Положив в этом выражении q = 0, можно записать

_{+¥ +¥}

R(0) = [ò S(w)e ^jwtdw]/[2p] = [ò S(w)e ^jwtdw]/p.

^{-¥ 0}

В соответствии со свойством корреляционной функции R(0) = x²(t) можно записать

_+¥

x₂(t) = [ò S(w)dw]/p.

⁰

Последнее выражение позволяет по спектральной плотности случайной функции x(t) определить среднее значение квадрата случайной функции.

 

Пример

 

Определить дисперсию сигнала на выходе апериодического звена при подаче на его вход «белого шума» со спектральной плотностью равной S_f.

 

W(p) = K/(Tp + 1) - передаточная функция звена.