Принцип невноценности денег: сегодняшние деньги ценнее бедующих.
Учёт времени осуществляется с помощью начисления процентов.
Проценты (процентные деньги) – абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг(предоставление ссуды, продажа в кредит, сберегательный счёт, учёт векселя, покупка сберегательного сертификата или облигации и т.д.)
Процентная ставка – отношение суммы процентных денег, выплачиваемых за определённый промежуток времени (период начисления), к величине ссуды.
Наращение (рост) первоначальной суммы – процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга.
Простые проценты – ставки процентов, применяемые к одной и той же начальной сумме на протяжении всего периода начисления.
Сложные проценты – ставки процентов, применяемые к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами.
Постоянные (фиксированные) процентные ставки – размер которых однозначно указывается в контракте.
Переменные(плавающие) процентные ставки – указывается изменяющаяся во времени БАЗОВАЯ СТАВКА (например, московская межбанковская ставка МИБОР) и размер надбавки к ней (МАРЖИ).
Наращенная сумма ссуды (долга, депозита и др.) – первоначальная её сумма вместе с начисленными на неё процентами к концу срока.
Р - первоначальная сумма денег,
i – ставка простых процентов,
Рi – начисленные за один период проценты,
Рin – начисленные за n периодов проценты.
Формула наращения по простым процентам (формула простых процентов):
S=P+I=P+Pin=P(1+in)
Т.о. 1+in=S/P – множитель наращения.
Пример:
Найти проценты и сумму накопленного долга при ставке простых процентов, равной 20% годовых, если ссуда 200 000 руб. была взята на 1,5 года.
Решение:
n=1,5 года, i=0,20, P=200 000 руб.
I=200 000*0,2*1,5=60 000 руб.
S=200 000+60 000=260 000 руб.
Ответ: проценты составили 60 000 руб., наращенная сумма равна 260 000 руб.
Если период начисления n меньше года, то он вычисляется в долях годы по формуле:
n=t/K,
t – срок операции (ссуды) в днях,
K – число дней в году (временная база).
Если база – условный год в 360 дней (12 месяцев по 30 дней), то процент называется обыкновенным или коммерческим, если же база – 365 или 366 дней (реальное число дней в году), то процент называется точным.
Определение числа дней называется точным, вычисляется фактическое число дней между двумя датами, и приближённым, если продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, приближённо считая все месяцы равными, содержащими 30 дней.
Т.о. получаем три варианта расчёта процентов:
1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3) обыкновенные проценты с приближённым числом дней ссуды;
Пример:
Ссуда размером 1,5 млн. руб. выдана 1 мая 2010 года до 7 июля 2010 года при ставке простых процентов, равной 15 % годовых. Найти:
1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3) обыкновенные проценты с приближённым числом дней ссуды;
Решение:
1) К=365, t=30+30+7=67, I=1 500 000*0,15*(67/365)=41 301,37 руб.
2) К=360, t=30+30+7=67, I=1 500 000*0,15*(67/360)=41 875,00 руб.
3) К=360, t=29+30+7=66, I=1 500 000*0,15*(66/360)=41 250,00 руб.
Простые переменные ставки применяются, если процентные ставки со временем изменяются. Тогда формула наращенной суммы:
S=P(1+n1i1+n2i2+…)=P(1+∑ntit),
uде Р – первоначальная сумма, it – ставка простых процентов в периоде с номером t, nt – продолжительность периода с номером t.
Пример:
Найти наращенную сумму ссуды в 1 млн. руб. за год, если принятая процентная ставка 20% годовых каждый месяц уменьшается на 1 %.
Решение:
S=1 000 000*(1+1/12*0,20+1/12*0,19+1/12*0,18+1/12*0,17+1/12*0,16+
+1/12*0,15+1/12*0,14+1/12*0,13+1/12*0,12+1/12*0,11+1/12*0,10+1/12*0,09)=
=1 145 000 руб.
Дисконтирование суммы S – нахождение исходной суммы Р по известной на конец финансовой операции сумме S. P называется современной стоимостью S.
Дисконт (или скидка) – проценты в виде разности D=S-P.
Учёт – процесс начисления и удержания процентов вперёд (в виде дисконта).
Привидение – определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени. (Если сумма приводится к более ранней дате, чем текущая, то применяется дисконтирование, если к более поздней, то - наращение).
Два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учёт.
Математическое дисконтирование - решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы.
Если S= P(1+in), то
Р=S/(1+in),
где 1/(1+in) – дисконтный множитель.
D=S-P – дисконт суммы.
Пример:
Какова первоначальная сумма Р и дисконт D, если должник через 60 дней вернул 600 000 руб., взятые под 20 % годовых?
Решение: S=600 000, i=0,20
Р=S/(1+in)=600 000/(1+0,20*60/360)=580 645,16 руб.
Банковский или коммерческий учёт (векселей) – покупка векселя (или другого платежного обязательства) до наступления срока платежа по нему по цене ниже суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока.
Вексель в этом случае приобретается (учитывается) с дисконтом
D=Snd,
удерживаемым банком, где d=D/(Sn)=(S-P)/(Sn) – учётная ставка.
Р=S-D=S-Snd=S(1-nd),
где (1-nd) - дисконтный множитель, n – период времени с момента его учёта до даты его погашения в годах.
Пример: Через 60 дней держатель векселя должен был получить за него 600 000 руб. Банк приобрёл его с дисконтом по учётной ставке 15 % годовых (год равен 360 дн.). Определить сумму, полученную держателем векселя и дисконт.
Решение:
D=Snd=600 000*(60/360)*0,15=15 000 руб.
Р=S-D=600 000-15 000=585 000 руб.