Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга (капитализируются).
Через 1 год сумма долга S=Р(1+i),
через 2 года сумма долга S=Р(1+i)(1+i)=Р(1+i)2,
через 3 года сумма долга S=Р(1+i)(1+i)(1+i)= Р(1+i)3,
………
через n лет сумма долга S=Р(1+i)n,
где S – наращенная сумма, i – годовая ставка сложных процентов, n – срок ссуды, (1+i)n – множитель наращения.
Пример: Кредит 1,5 млн. руб. взят на 5 лет под 20 % годовых по ставке сложных процентов. Найти наращенную сумму.
Решение: S=Р(1+i)n=1 500 000*(1+0,2)5=3 732 480 руб.
Если ставка сложных процентов меняется во времени, то формула наращения примет вид:
S=Р(1+i1)n1(1+i2)n2…(1+ik)nk,
где (1+i1)n1(1+i2)n2…(1+ik)nk – множитель наращения,
i1, i2,… ,ik – последовательное значение ставок процентов, действующих в соответствующие периоды n1, n2,… ,nk.
Пример: Кредит 1млн. руб. взят по ставке сложных процентов на 5 лет под 20 % годовых плюс маржа 10% в первые два года, потом каждый год на 2% меньше. Найти наращенную сумму.
Решение: S= 1 000 000*(1+0,3)2(1+0,28)(1+0,26)(1+0,24)= 3 379 783,68 руб.
Пусть j – годовая ставка сложных процентов, m – число периодов начисления в году. При каждом начислении проценты капитализируются. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. (j – номинальная ставка). Формула наращенной суммы по номинальной ставке процентов:
S=Р(1+j/m)N
где N=nm – число периодов начисления (может быть дробным).
Пример: Кредит 1млн. руб. предоставлен по ставке сложных процентов 20% годовых на 16 месяцев. Найти наращенную сумму, если проценты начисляются ежеквартально.
Решение: Р=1 000 000 руб., j=0,2, m=4, n=16*30/360=16/12=4/3, N=4*(4/3)=16/3
S= 1 000 000*(1+0,2/4)16/3= 727 624,86 руб.
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов даёт тот же финансовый результат, что и m-разовое начисление в год по ставке j/m.
(1+iэф.)n=(1+j/m)mn,
iэф, -эффективная ставка, j –номинальная ставка. Отсюда:
iэф. =(1+j/m)m-1,
j=m[(1+iэф.)1/m-1],
Пример 1:
Вычислить эффективную ставку процента, если номинальная ставка 15% годовых, проценты начисляются ежеквартально.
Решение:
iэф. =(1+j/m)m-1=(1+0,15/4)4-1=0,1587 или 15,87%
Пример 2:
Какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы эффективная ставка была 15% годовых.
Решение:
j=m[(1+iэф.)1/m-1]=4[(1+0,15)1/4-1]=0,1422 или 14,22%
Учёт (дисконтирование) по сложной ставке процентов:
- математический учёт (решается задача, обратная наращению по сложным процентам), т.е., если S=Р(1+i)n, то
P=S/(1+i)n=S*vn,
где vn=1/(1+i)n – учётный (или дисконтный) множитель.
Пример:
Определить современную стоимость 1 000 000 руб., которые получит 8-летний ребёнок через 10 лет при ставке сложных процентов 12% годовых.
Решение:
P=S/(1+i)n=1 000 000/(1+0,12)10=321 973,24 руб.
Если проценты начисляются m раз в году, то из S=Р(1+j/m)mn получим:
Р = S/(1+j/m)mn=S*v mn,
где v mn =1/(1+j/m)mn – учётный (или дисконтный) множитель.
- банковский учёт. Дисконтирование по сложной учётной ставке осуществляется по формуле (dсл–сложная годовая учётная ставка):
Р=S(1-dсл)n
D=S-P=S- S(1-dсл)n= S[1-(1-dсл)n]
Пример: Через 2 года по векселю должны были выплачены 600 000 руб. Банк учёл его по сложной учётной ставке 15 % годовых. Определить дисконт.
Решение:
Р=S(1-dсл)n=600 000*(1-0,15)2=433 500 руб.
D=S-Р=600 000-433 500 =166 500 руб.