Наращение процентов, налоги и инфляция.
В рассмотренных выше методах определения наращенной суммы не учитывались такие важные моменты, как налоги и инфляция.
Налог на полученные проценты.В ряде стран полученные (юридическими, а иногда и физическими лицами) проценты облагаются налогом, что, естественно, уменьшает реальную наращенную сумму. Нельзя не учитывать и то, что частый пересмотр налоговых правил вносит существенный элемент неопределенности в конечные результаты наращения для владельца денег.
Обозначим, как и выше, наращенную сумму до выплаты налогов через S, а с учетом выплаты как S’’. Пусть ставка налога на проценты равна g.
При начислении простых процентов находим:
S’’ = S – (S – P) g = S(1-g) + Pg = P[1 + n(1-g)i].
Таким образом, учет налога сводится к соответствующему сокращению процентной ставки: вместо ставки i фактически применяется ставка (1-g)i.
В долгосрочных операциях при начислении налога на сложные проценты возможны следующие варианты: налог начисляется за весь срок сразу, т.е. на всю сумму процентов, или последовательно, например, в конце каждого года. В первом случае сумма налога равна
P[(1+i)n – 1]g,
а наращенная сумма после выплаты долга
S’’ = S – (S – P) g = S(1-g) + Pg = P[(1-g)(1+i)n + g].
Во втором случае сумма налога определяется за каждый истекший год. Очевидно, что она является переменной величиной, так как сумма процентов увеличивается во времени. Соответственно увеличивается и годовая сумма налогов. Сумма налогов за весь срок, очевидно, не зависит от метода начисления.
Налог за год t (обозначим его как Gt) можно найти с помощью следующего выражения:
Gt = Itg = (St-St-1)g = P[(1+i)t– (1+i)t-1]g.
Инфляция.В рассмотренных выше методах наращения все денежные величины измерялись по номиналу. Иначе говоря, не принималось во внимание снижение реальной покупательской способности денег за период, охватываемый финансовой операцией. Однако, в современных, особенно российских, условиях инфляция часто играет решающую роль, и без ее учета конечные результаты представляют собой весьма и весьма условную величину.
Инфляцию необходимо учитывать, по крайней мере, в двух случаях: при расчете наращенной суммы денег и при измерении реальной эффективности (доходности) финансовой операции. Остановимся на этих проблемах.
Прежде всего, напомним, что изменение покупательской способности денег за некоторый период измеряется с помощью соответствующего индекса Jnc. Пусть S – наращенная сумма денег, измеренная по номиналу. Эта же сумма, но с учетом ее обесценения составит:
C = S* Jnc
Индекс покупательной способности денег, как известно, равен обратной величине индекса цен:
Jnc = 1/Jp
Разумеется, указанные индексы должны относится к одним и тем же временным интервалам. Пусть, например, сегодня получено 180 тыс. руб., известно, что за два предшествующих года цены увеличились в три раза, т.е. Jp = 3. В этом случае индекс покупательной способности денег равен 1/3. Следовательно, реальная покупательная способность 180 тыс. руб. составит в момент получения всего 180*(1/3) = 60тыс. руб. в деньгах двухлетней давности.
Нетрудно связать индекс цен и темп инфляции. Предварительно напомним некоторые понятия. Под темпом инфляции обычно понимается относительный прирост цен за период; обозначим его как H; измеряется в процентах. Темп инфляции и индекс цен связаны следующим образом:
H = 100(Jp -1)
В свою очередь
Jp = (1 + H/100)
Например, если темп инфляции равен 130%, то цены за этот период выросли в 2,3 раза.
Вернемся к проблеме обесценения денег при их наращении. В общем случае теперь можно записать:
С = S / Jp
Если наращение производится по простой ставке, имеем:
С = Р[(1 + ni)/ Jp] = Р[(1 + ni)/(1 + h/100)n
Как видим, увеличение наращенной суммы с учетом сохранения покупательной способности денег имеет место только тогда, когда 1 + ni > Jp.
Наращение по сложным процентам:
C = P[(1 +i) n/ Jp] = P[(1 +i)/( 1 + h/100)] n
Рис. 4
На рис. 4 видно, как влияют ставка процента i и темп инфляции h на величину С. Очевидно, что если среднегодовой темп инфляции равен ставке процентов, то роста реальной суммы не произойдет: наращение будет поглощаться инфляцией и, следовательно, С = Р. Если же h/100>i, то наблюдается «эрозия капитала», его реальная сумма будет меньше первоначальной. Только в ситуации, когда h /100<i, происходит реальный рост.
Процентная ставка, при которой наращение будет только компенсировать инфляцию:
для простых процентов
i* = (Jp -1)/n
для сложных процентов
i* = h
Ставку, превышающую i*, называют положительной ставкой процента.
Владельцы денег, разумеется, предпринимают различные попытки для компенсации обесценения денег. Наиболее распространенной является корректировка ставки процентов, по которой осуществляется наращение, т.е. увеличение ставки на величину так называемой инфляционной премии, иначе говоря, производится индексация ставки. Итоговую величину можно назвать брутто – ставкой:
r = [(1 + ni)Jp - 1]/n
Величина брутто – ставки для наращения по сложной ставке процента:
r = i + h/100 + (h/100)i
Разумеется, что при высоких темпах инфляции корректировка (индексация) ставки имеет смысл только для кратко- или в крайнем случае для среднесрочных операций.
Перейдем теперь к решению обратной задачи – к измерению реальной ставки процента, т.е. доходности с учетом инфляции – определению i по заданному значению брутто – ставки. Если r – объявленная норма доходности (брутто - ставка), то искомый показатель доходности в виде готовой процентной ставки i можно определить при начислении простых процентов как
i = 1/n [(1 +nr)/ Jp - 1]
Реальная доходность, как видим, здесь зависит от срока наращения процентов. Напомним, что фигурирующий в этой формуле индекс цен охватывает весь период начисления процентов.
Аналогичный по содержанию показатель, но при наращении по сложным процентам найдем:
i = [(1 + r)/ (1 + h/100)] – 1
Таким образом, реальная процентная ставка – это ставка, скорректированная на процент инфляции. Реальная ставка говорит о приросте покупательной способности средств инвестора.