Інтерполяція функцій. Інтерполяційний багаточлен Лагранжа

Нехай відомі значення функції в різних точках: . (): Виникає задача наближено відбудувати функцію у довільній точці .

Для розв’язання цієї задачі будується алгебраїчний багаточлен степеня , який в точках приймає ті ж значення , що й функція , тобто:

,

Такий багаточлен називають інтерполяційним. Точки називають вузлами інтерполяції

Будемо шукати інтерполяційний багаточлен у вигляді лінійної комбінації багаточленів степеня

(4)

При цьому вимагатимемо, щоб кожен багаточлен обертався в нуль в усіх вузлах інтерполяції, за винятком одного і-го вузла, де він повинен дорівнювати одиниці. Легко перевірити, що цим умовам задовольняє багаточлен виду

(5)

Підставляючи вираз (5) у вираз (4), отримуємо

(6)

Інтерполяційний багаточлен, представлений у вигляді (6), називають інтерполяційним багаточленом Лагранжа, а функції , представлені у вигляді (5), – лагранжевими коефіцієнтами.

Окремі випадки:

Лінійна інтерполяція За (інтерполюємо за двома точками)

Квадратична інтерполяція За (інтерполюємо за трьома точками)