Завдання 1:використовуючи схему Горнера, скласти таблицю значень багаточлена на відрізку з кроком h=0.25. Обчислення проводити з точністю 0.001. Побудувати графік апроксимуючої функції.
Розв’язання:
Для обчислення за схемою Горнера складемо таблицю, що міститиме всі проміжні результати та значення шуканого багаточлена.
У верхньому рядку таблиці запишемо коефіцієнти даного багаточлена, а у першому стовпчику – значення аргумента x. Решта рядків міститимуть значення , які у схемі Горнера знаходяться за єдиною формулою:
, ;
0.883 | -1.217 | 1.452 | 0.572 | -2.343 | 1.158 | |
0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 | 0.883 0.883 0.883 0.883 0.883 0.883 0.883 | -0.7755 -0.5547 -0.3340 -0.1132 0.1075 0.3282 0.5490 | 1.06425 1.0359 1.1180 1.3104 1.6132 2.0264 2.550 | 1.1041 1.3490 1.6900 2.2100 2.9919 4.1183 5.6720 | -1.7909 -1.3313 -0.6530 0.4196 2.1448 4.8640 9.0010 | 0.2625 0.1595 0.5050 1.6824 4.3752 9.6699 19.1600 |
В останньому стовпчику таблиці отримуємо шукані значення багаточлена P(x).
Відповідь:
0.50 | 0.263 |
0.75 | 0.160 |
1.00 | 0.505 |
1.25 | 2.373 |
1.50 | 4.375 |
1.75 | 9.670 |
2.00 | 19.160 |
Побудуємо графік апроксимуючої функції (рис. 1):
|
Рис. 1. Графік апроксимуючої функції
Завдання 2:Для функції , що задана таблицею:
побудувати інтерполяційний багаточлен Лагранжа та обчислити значення заданої функції у точках , , , . Побудувати графік функції .
Розв’язання:
Згідно (6) за маємо:
.
;
;
;
.
Побудуємо графік функції (рис. 2):
|
Рис. 2. Графік функції
Відповідь: ;
; ; ; .
Завдання 3: Методом Ейлера скласти розв’язок задачі Коші для звичайного диференційного рівняння на відрізку [0; 1] з кроком h=0.2 за початкових умов . Обчислення проводити з точністю 0.0001. Побудувати графік знайденого розв’язку .
Розв’язання:
Розрахункові формули методу Ейлера матимуть вигляд:
Результати обчислень заносимо до таблиці:
0.2 | 0.8919 | |
0.4 | 0.8061 | |
0.6 | 0.7455 | |
0.8 | 0.7115 | |
0.7035 |
Побудуємо графік знайденого розв’язку (рис. 3):
|
Рис. 3 Графічний розв’язок задачі Коші