Автокорреляция уровней временного ряда. Выявление его структуры
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня зависят от предыдущих.
Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда
Для выявления структуры ряда, т. е. состава компонент рассчитывают автокорреляцию уровней ряда называют автокорреляцией уровней ряда.
Автокорреляция может быть измерена линейным коэффициентом корреляции ( ri ) между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Сдвиг во времени (лаг) определяет порядок коэффициента автокорреляции.
Различают коэффициент автокорреляции первого, второго, третьего и т. д. порядков. Коэффициент автокорреляции уровней временного ряда первого порядка рассчитывают при лаге 1:
, (120)
где 
- средний уровень исходного ряда, рассчитанный от t=2 до n; 
- средний уровень ряда, сдвинутого на один шаг, рассчитанный от t=2 до n.
Коэффициент автокорреляции уровней временного ряда второго порядка рассчитывают при лаге 2:
, (121)
где 
- средний уровень исходного ряда, рассчитанный от t=3 до n;
- средний уровень ряда, сдвинутого на два шага, рассчитанный от t=3 до n.
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции называется лагом.
Обычно рекомендуют максимальный лаг (порядок коэффициента автокорреляции), равный n/4.
Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции:
Во - первых, он строится пол аналогии с линейным коэффициентом корреляции, поэтому по нему судят о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции.
Во – вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График
зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.
Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции можно определить лаг, при котором автокорреляция между текущим и предыдущим уровнями ряда наиболее тесная, выявив тем самым структуру временного ряда.
Если наиболее высоким оказалось значение коэффициента автокорреляции первого порядка, то исследуемый временной ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка 
, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:
· либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
· либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
Рассмотрим пример: пусть имеются данные предприятия по объемам выпуска некоторого товара по кварталам за 3 года в тыс. шт. (табл. 1).
Табл.1. – Объем выпуска товара, тыс. шт.
| t | Yt | Yt-1 | 
| 
| ()*()
| ()2
| ()2
| Yt-2 | 
| 
| ()*()
| ()2
| ()2
|
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | ||
| -368,64 | -295,91 | 109084,3 | 135895,4 | 87562,73 | - | - | - | - | - | - | |||
| -53,64 | -305,91 | 16409,01 | 2877,25 | 93580,93 | -90,5 | -243 | 21991,5 | 8190,25 | |||||
| -168,64 | 9,09 | -1532,94 | 28439,45 | 82,6281 | -205,5 | -253 | 51991,5 | 42230,25 | |||||
| -183,64 | -105,91 | 19449,31 | 33723,65 | 11216,93 | -220,5 | -13671 | 48620,25 | ||||||
| -208,64 | -120,91 | 25226,66 | 43530,65 | 14619,23 | -245,5 | -53 | 13011,5 | 60270,25 | |||||
| 206,36 | -145,91 | -30110 | 42584,45 | 21289,73 | 169,5 | -68 | -11526 | 28730,25 | |||||
| 31,36 | 269,09 | 8438,662 | 983,4496 | 72409,43 | -5,5 | -93 | 511,5 | 30,25 | |||||
| -3,64 | 94,09 | -342,488 | 13,2496 | 8852,928 | -40,5 | -13041 | 1640,25 | ||||||
| -48,64 | 59,09 | -2874,14 | 2365,85 | 3491,628 | -85,5 | -12568,5 | 7310,25 | ||||||
| 466,36 | 14,09 | 6571,012 | 217491,6 | 198,5281 | 429,5 | 184470,3 | |||||||
| 331,36 | 529,09 | 175319,3 | 109799,4 | 279936,2 | 294,5 | 19731,5 | 86730,25 | ||||||
| -0,04* | -0,01* | 325638,6 | 617704,5 | 593240,9 | 468222,5 |
* сумма не равна нулю в виду наличия ошибок округления.
.
Коэффициент автокорреляции первого и второго порядков составят:
Аналогично рассчитываются коэффициенты автокорреляции третьего, четвертого и пятого порядков, составившие: r3 = 0,432; r4 = 0,992; r5 = 0,373.
Анализ рассчитанных коэффициентов автокорреляции позволяет сказать, что в данном ряду динамики имеется тенденция и сезонные колебания с периодом, равным 4.
Если при анализе временного ряда наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции уровней 2 – го порядка, ряд содержит циклические колебания в два периодов времени, т. е. имеет пилообразную структуру.