Прогнозирование по моделям временного ряда

 

По аддитивной модели

 

Предположим, по данным примера (табл. 3.1) требуется дать прогноз объема выпуска продукции в течение первого полугодия ближайшего следующего года.

Прогнозное значение У_t уровня временного ряда в аддитивной модели в соответствии с соотношением (3.1) есть сумма трендовой и сезонной компонент.

Объем выпуска продукции в течение первого полугодия ближайшего следующего, т. е. четвертого года, рассчитывается как сумма объемов выпуска в I и II кварталах четвертого года, соответственно У₁₃ и У₁₄. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

 

Т = 392,45 + 53,277*t.

 

Получим: Т₁₃ = 395,45+53,277*13 = 1088,051;

 

Т₁₄ = 395,45+53,277*14 = 1141,328.

 

Значение сезонной компоненты равны: S₁ = -60,858; S₂ = -159,609.

Таким образом,

У₁₃ = 1088,051 - 60,858 = 1027,652;

У₁₄ = 1141,328 – 159,609 = 981,719.

 

Прогноз объема выработки продукции на первое полугодие ближайшего следующего (четвертого) года составит:

 

(1027,652 + 981,719) = 2009,371 тыс. шт.

 

По мультипликативной модели.

 

Предположим, что по данным того же примера необходимо сделать прогноз ожидаемого объема выработки продукции за первое полугодие ближайшего следующего года.

Прогнозное значение У_t уровня временного ряда в аддитивной модели в соответствии с соотношением (3.2) есть произведение трендовой и сезонной компонент.

Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

Т = 388,69 + 53,23*t.

 

Получим: Т₁₃ = 388,69 + 53,23 * 13 = 967,68;

 

Т₁₄ = 388,69 + 53,23 *14 = 1119,91.

 

Значения сезонной компоненты равны: S₁ = 0,904; S₂ = 0,791.

Таким образом,

У₁₃ = 967,68 * 0,904 = 874,783;

У₁₄ = 1119,91 * 0,791 = 885,849.

 

Прогноз объема выработки продукции на первое полугодие ближайшего следующего (четвертого) года составит:

 

(874,783 + 885,849) = 1760,632 тыс. шт.

 

Метод применения фиктивных переменных

для моделирования сезонных колебаний

 

Суть этого метода заключается во включении во временной ряд фактора времени и фиктивных переменных.

Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. Например, при моделировании поквартальных данных модель должна включать четыре независимые переменные - фактор времени и три фиктивные переменные. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную (циклическую) компоненту временного ряда для какого – либо периода. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных периодов.

Пусть имеется временной ряд, содержащий циклические колебания с периодичностью k. Модель регрессии с фиктивными переменными для этого ряда будет иметь вид:

 

(122)

где

 

Например, при моделировании сезонных колебаний на основе поквартальных данных за несколько лет число кварталов одного года k = 4, а общий вид модели следующий:

 

(123)

 

где

 

 

 

Уравнение тренда для каждого квартала будет иметь следующий вид:

 

Для 1 квартала

Для 2 квартала

Для 3 квартала

Для 4 квартала

 

Таким образом, фиктивные переменные позволяют дифференцировать величину свободного члена уравнения регрессии для каждого квартала. Она составит: для 1 квартала (а+с₁); для 2 квартала (а+с₂); для 3 квартала (а+с₃); для 4 квартала (а).

Параметр b в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденции. В сущности, модель (122) есть аналог аддитивной модели временного ряда, поскольку фактический уровень временного ряда есть сумма трендовой, сезонной и случайной компонент.

Пример:

Построение модели регрессии временного ряда с фиктивными переменными.

 

Воспользуемся данными о поквартальном объеме выпуска некоторой продукции. В данной модели четыре независимые переменные: t, x₁, x₂, и x_3. и результативная переменная у.

 

 

Таблица 8

Номер квартала t	x1	x2,	x3.	Объем выпуска Yt

 

Оценим уравнение регрессии

обычным МНК. Результаты следующие:

 

(44,93) (4,35) (42,25) (41,12) (40,42)

 

В скобках указаны стандартные ошибки.

R² = 0,977. Расчетное значение критерия Фишера 74,17. Табличное значение критерия Фишера 4,12. Следовательно, полученная модель статистически значима.

 

Расчетные значения критериев Стьюдента:

 

Табличное значение критерия Стьюдента составляет 1,89 для α = 0,1. Следовательно, влияние сезонной компоненты статистически значимо.

Параметр а = 409,58 есть сумма начального уровня ряда и сезонной компоненты в 4 квартале.

Сезонные колебания в 1 и 2 кварталах приводят к снижению этой величины, о чем свидетельствуют отрицательные оценки параметров при переменных x, и x₂.

Отметим, что эти параметры не равны значениям сезонной компоненты, поскольку они характеризуют не сезонные изменения уровней ряда, а их отклонения от уровней, учитывающих сезонные воздействия в 4 квартале. Положительная величина b = 52,97 при переменной времени t свидетельствует о наличии возрастающей тенденции в уровнях ряда. Его абсолютное значение говорит о том, что средний за квартал абсолютный прирост объема продукции составляет 52,97 тыс. штук.

Сравним оба метода построения аддитивной модели. В первом случае коэффициент детерминации составил 0,976, в данном случае 0,977.

Следовательно, модель с фиктивными переменными описывает динамику временного ряда объема выпуска некоторой продукции не хуже, чем аддитивная модель, построенная методом скользящей средней.

Основной недостаток модели с фиктивными переменными для описания сезонных колебаний наличие большого числа переменных. Если, например, строится модель для описания помесячных периодических колебаний за несколько лет, то такая модель будет включать 12 независимых переменных ( 11 фиктивных и фактор времени). В такой ситуации число степеней свободы невелико, что снижает вероятность получения статистически значимых оценок параметров уравнения регрессии.