МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ И ДЕТЕРМИНАЦИЯ
Для множественной регрессии рассчитываются показатели множественной и частной корреляции.
Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым результативным признаком, т. е. оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.
Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции:
(84)
где 
общая сумма квадратов отклонений результативного признака;
остаточная сумма квадратов для уравнения с полным набором факторов;
k - число переменных перед факторами.
Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов.
При правильном включении факторов в регрессионный анализ величина индекса множественной корреляции будет существенно отличаться от показателя корреляции парной зависимости.
Следовательно, сравнивая показатели множественной и парной корреляции можно сделать вывод о целесообразности включения в уравнение того или иного фактора. Например: у = f(x, z); ryxz = 0,85; Ryx = 0,82; Ryz = 0,75.
При линейной зависимости признаков показатель множественной корреляции называется линейныйкоэффициент множественной корреляции или совокупныйкоэффициенткорреляции, который может быть рассчитан по следующим формулам:
(85)
где 
стандартизованные коэффициенты регрессии;
парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.
Возможно также при линейной зависимости определение совокупного коэффициента корреляции через матрицу парных коэффициентов корреляции:
(86)
где 
определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
определитель матрицы межфакторной корреляции.
Для уравнения 
определитель матрицы коэффициентов парной корреляции примет вид:
(87)
определитель более низкого порядка: образуется, когда из матрицы коэффициентов парной корреляции вычеркиваются первая строка и первый столбец:
(88)
Рассмотренная выше формула позволяет определить совокупный коэффициент корреляции, не обращаясь к уравнению множественной регрессии, а используя лишь парные коэффициенты корреляции.
Для двухфакторного линейного уравнения регрессии совокупный коэффициент корреляции определяется по выражению вида:
(89)
Индекс множественной корреляции равен совокупному коэффициенту корреляции не только при линейной зависимости признаков, но и для криволинейной зависимости, нелинейной по переменным.
Так, если для фирмы модель прибыли имеет вид
где х1 – удельные расходы не рекламу;
х2 – капитал фирмы;
х3 – доля продукции фирмы в общем объеме продаж данной группы товаров по региону;
х3 – процент увеличения объема продаж фирмы по сравнению с
предыдущим годом.
Независимо от того, что фактор х1 задан линейно, а остальные – в логарифмах, оценка тесноты связи может быть произведена с помощью линейного коэффициента множественной корреляции.
Если, например, парные коэффициенты корреляции прибыли с каждым из ее факторов составили: ryx1 = -0,6; rylnx2 =0,7; rylnx3 =0,6; rylnx4 =0,4, а уравнение в стандартизованном виде оказалось следующим:
То, используя формулу (85), получим совокупный коэффициент корреляции
Тот же результат даст и индекс множественной детерминации, определенный через соотношение остаточной и общей дисперсий (формула 84).
Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оцениваемым параметрам. В этом случае для оценки тесноты связи исследуемых признаков используется только индекс множественной корреляции 
Предположим, что производственная функция имеет вид:
где Р - объем продукции; L – затраты труда; К – величин капитала; b1 +b2 =1.
Логарифмируя ее, получим линейное в логарифмах уравнение
Оценив параметры этого уравнения по МНК, можно определить 
и остаточную сумму квадратов 
, которая используется в расчете показателя (индекса) корреляции.
Однако, при этом нельзя забывать, что МНК применяется не к исходным данным, а к их логарифмам.
Коэффициент (или индекс) множественной детерминации оценивает качество построенной модели в целом и рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции или квадрат совокупного коэффициента множественной корреляции:
или 
(90)
Если число параметров при хi приближается к объему наблюдений n, то для оценки качества полученной многофакторной модели используется скорректированный индекс множественной детерминации, формула расчета которого имеет вид:
(91)
где k - число параметров при переменных х;
n - число наблюдений.
Чем больше величина k, тем сильнее различия 
и R2.
Величина показателя множественной детерминации изменяется от 0 до 1. Низкое его значение означает, что в регрессионную модель не включены существенные факторы - с одной стороны, а с другой стороны – рассматриваемая форма связи не отражает реальные соотношения между переменными, включенными в модель, и требуется ее улучшение.
Для нелинейных по параметрам моделей множественной детерминации иногда в эконометрике называют «квази – R2». Для его определения по функциям, использующим логарифмические преобразования (степенная, экспонента) применяется формула:
(92)
где k - число параметров при переменных х;
n - число наблюдений.
Лекция 9