СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

 

Общее понятие о системах уравнений, используемых в эконометрике

 

Потребность в использовании систем уравнений связано с тем, что при использовании отдельных уравнений считается, что факторы независимы друг от друга. Практически же изменение одной переменной не может происходить при абсолютной неизменности других.

Поэтому в экономических и других исследованиях важное место занимает проблема описания структуры связей между переменными системой, так называемых одновременных уравнений, называемой также структурными уравнениями.

Система уравнений в эконометрике может быть построена по разному.

· система независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

(111)

 

Набор факторов х_i в каждом уравнении может варьироваться.

Так модель вида

 

y₁ = f (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅)

y₂= f (x₁, x₃, x₄, x₅)

y₃ = f ( x₂, x₃, , x₅)

y₄ = f (, x₃, x₄, x₅)

 

также является системой независимых уравнений с тем лишь отличием, что в ней набор факторов видоизменяется в уравнениях, входящих в систему.

Примером такой модели может служить модель экономической эффективностисельскохозяйственного производства, где в качестве зависимых переменных выступают показатели, характеризующие эффективность сельскохозяйственного производства – продуктивность животноводства (у₁), с/с 1 ц молока (у₂), а в качестве факторов – специализация хозяйства (х₁), количество голов на 100 га пашни (х₂), затраты труда (х₃) и т. п.

В итоге система независимых уравнений примет вид:

 

.

· система рекурсивных уравнений - когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении:

 

(112)

 

В данной системе зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором факторов х. Примером такой системы может служить модель производительности труда и фондоотдачи вида:

 

 

где у₁ – производительность труда; у₂ – фондоотдача; х₁ – фондовооруженность труда; х₂ – энерговооруженность труда; х₃– квалификация рабочих.

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила:

· система взаимозависимых (совместных) уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую:

 

(113)

 

Система взаимозависимых уравнений получила название системы совместных, одновременных уравнений.

В эконометрике эта система уравнений называется структурной формой модели.

Примером системы одновременных уравнений может служить модель динамики цены и заработной платы вида:

где у₁ – темп изменения месячной заработной платы; у₂ -темп изменения цен; х₁ – % безработных; х₂ – темп изменения постоянного капитала; х₃– темп изменения цен на импорт сырья.

Структурная и приведенная формы модели

Системы эконометрических уравнений включают множество эндогенных, экзогенных и предопределенных переменных.

Эндогенные переменные – взаимозависимые переменные (у), которые определяются внутри модели (системы). Их число равно числу уравнений в системе.

Экзогенные переменные – независимые переменные (х), которые определяются вне системы и влияющие на эндогенные переменные.

Предопределенные переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы (y_t-1).

Простейшая структурная форма модели (СФМ) имеет вид:

где у – эндогенные переменные; х – экзогенные переменные.

Коэффициенты аи b при переменных называются структурными коэффициентами модели.

Так как свободный член в уравнениях отсутствует, то все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т. е. под х подразумевается , а под у - .

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели неприемлемо и поэтому структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Для этого у₂ из первого уравнения модели выражается:

 

 

Тогда система одновременных уравнений будет представлена как

 

Отсюда имеем равенство

или

 

Тогда или

 

Обозначив приведенные коэффициенты

 

,

 

Получим первое уравнение структурной формы модели в виде приведенной формы модели (ПФМ):

 

 

Аналогично можно определить приведенные коэффициенты для второго уравнения системы:

 

и уравнение ПФМ будет иметь вид:

 

 

Система уравнений приведенной формы модели:

В общем виде ПФМ представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от всех экзогенных и предопределенных переменных системы:

 

(114)

где - коэффициенты приведенной формы модели.

ПРОБЛЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации.

Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

1. Неидентифицируемые.

2. Идентифицируемые.

3. Сверхидентифицируемые.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Например:

При n = 2 эндогенных и m = 3 экзогенных переменных полный вид структурной модели составит:

Как видим, модель содержит 8 структурных коэффициентов.

Приведенная форма модели в полном виде:

Она имеет 6 приведенных коэффициентов δ _ij.

Следовательно, все 8 структурных коэффициентов не могут быть определены по 6 коэффициентам приведенной модели.

Чтобы получить единственное возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели в виду слабой зависимости признаков равны 0. Тем самым уменьшить число структурных коэффициентов модели.

Так, если предположить, что в данной модели а₁₃ и а₂₁ равны 0, то структурная модель примет вид:

В такой модели число структурных коэффициентов равно 6 и модель идентифицируема.

Модель идентифицируема, если число параметров (коэффициентов) структурной формы модели равно числу параметров (коэффициентов) приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. Так, если предположить, что в исходной модели и а₂₂₁ равен 0, то система уравнений будет иметь вид:

В системе следует каждое уравнение проверять на идентифицируемость.