Методы оценивания параметров структурной модели
Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений.
Наибольшее распространение получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:
· Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);
· Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);
· Трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК);
· Метод максимального правдоподобия с полной информацией;
· Метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.
Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК)
Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели.,
Алгоритм косвенного МНК включает три этапа:
1. Структурная модель преобразуется в приведенную форму модели.
2. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты (
j ).
3. Путем алгебраических преобразований по оценкам приведенных коэффициентов определение параметров структурной формы модели.
Рассмотрим пример. Пусть дана структурная форма модели с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными:
(116)
Для построения данной модели мы располагаем некоторой информацией по семи регионам:
Таблица 1 – Исходные данные для построения структурной формы модели
| № | у1 | у2 | х1 | х2 | 
| 
| 
| 
|
| -3 | -1 | -2,1 | -0,4 | |||||
| -2 | -1,1 | 0,6 | ||||||
| -1 | 1,9 | -1,4 | ||||||
| -2 | -0,1 | -1,6 | ||||||
| -3 | -0,1 | -0,4 | ||||||
| 0,9 | -0,4 | |||||||
| 0,9 | 0,6 | |||||||
| Ср. | 3,1 | 2,4 |
Шаг1. Приведенная форма модели составит:
(117)
Шаг2. Для каждого уравнения приведенной формы модели применяем обычный МНК и определяем 
- коэффициенты.
Чтобы упростить процедуру расчетов, можно использовать отклонения от средних уровней: 
.
Для первого уравнения приведенной формы модели система нормальных уравнений составит:
Для расчета приведенных коэффициентов по исходным данным определяем 
Расчеты ведем в таблице 2.2.
Таблица 2 – Расчеты приведенных и структурных коэффициентов
| № | у1х1 | у1х2 | х1х2 | х12 | х22 | у2х1 | у2х2 | 
| +х1=z
| у1*z | z2 |
| 6,4 | 1,3 | 0,9 | 4,6 | 0,2 | 2,1 | 0,4 | -1,79 | -3,94 | 11,81 | 15,51 | |
| 2,3 | -1,1 | -0,7 | 1,3 | 0,3 | 0,0 | 0,0 | -0,93 | -2,07 | 4,14 | 4,28 | |
| -1,9 | 1,4 | -2,7 | 3,4 | 2,0 | 1,9 | -1,4 | 1,49 | 3,34 | -3,34 | 11,18 | |
| 0,0 | 0,0 | -0,2 | 0,0 | 2,5 | 0,3 | -3,1 | -0,06 | -0,20 | 0,00 | 0,04 | |
| -0,1 | -0,4 | 0,1 | 0,0 | 0,2 | 0,4 | 1,3 | -0,13 | -0,28 | -0,28 | 0,08 | |
| 1,8 | -0,9 | -0,4 | 0,7 | 0,2 | 1,7 | -0,9 | 0,70 | 1,55 | 3,10 | 2,41 | |
| 2,6 | 1,7 | 0,5 | 0,7 | 0,3 | 2,6 | 1,7 | 0,73 | 1,59 | 4,77 | 2,53 | |
| Сумма | 11,1 | 2,0 | -2,4 | 10,9 | 5,7 | 9,0 | -2,0 | 20,2 | 36,0 |
Имеем:
Решая данную систему, получим первое уравнение приведенной формы модели:
у1 = -0,83 х1 - 8,34 х2..
Аналогично применяем МНК для второго уравнения приведенной формы модели, получим:
Для расчета приведенных коэффициентов этой системы по исходным данным дополнительно определяем 
Расчеты в таблице 2.2.
Применительно к нашему примеру имеем:
,
Откуда второе приведенное уравнение составит:
у2 = 0,83 х1+0,038 х2..
Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:
Шаг 3. Переходим о приведенной формы модели к структурной форме модели, т. е. к системе уравнений:
Для этой цели из первого уравнения приведенной формы модели надо исключить х2, выразив его из второго уравнения приведенной формы модели и подставив в первое:
Тогда 
- первое уравнение структурной модели.
Чтобы найти другое уравнение структурной модели из второго уравнения приведенной формы модели следует исключить х1, выразив его из первого уравнения и подставив во второе:
Тогда 
- второе уравнение структурной модели.
Итак, структурная форма модели имеет вид:
Оценка значимости модели дается через критерий Фишера и R2 для каждого уравнения в отдельности.
Параметр а, т. е. свободный член для каждого уравнения может рассчитываться по известной формуле, применяемой для множественной регрессии:
.
В данном примере:
Для обработки по программе DSTAT система приведенных уравнений отсутствует сразу же выдается структурная модель.
ДВУХШАГОВЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (ДМНК)
Используется для оценки сверхидентифированной модели.
Основная идея ДМНК – на основе приведенной формы получить для сверхидентифицированного уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее подставив их вместо фактических переменных, можно применить обычный МНК к структурной форме идентифицируемого уравнения.
Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождения на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов по данным расчетных эндогенных переменных.
Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:
1. Составление приведенной формы модели.
2. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты ().
3. Определение расчетных значений эндогенных переменных, которые находятся в правой части сверхидентифицируемого уравнения структурной формы модели.
4. Определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение экзогенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных.
Для того, чтобы привести вышеприведенную идентифицируемую модель (116) в сверхидентифицируемую наложим ограничения на ее параметры, а именно b12 = a11. Тогда она примет вид:
(117
Bыполнив пункты 1 и 2 алгоритма для тех же исходных данных, получим ту же систему приведенных уравнений:
На основе второго уравнения данной системы можно найти теоретические значения для эндогенной переменной у2, т. е. . С этой целью во второе уравнение подставляем значения х1 и х2 как отклонения от средних. Оценки для эндогенной переменной у2, приведены в таблице 2.2.
После того как найдены оценки эндогенной переменной у2, обратимся к сверхидентифицированному структурному уравнению
.
Заменяя фактические значения у2 их оценками , найдем значения новой переменной + х1 = z.
Далее применим МНК к уравнению 
, т. е. 
.
Откуда
Таким образом, сверхидентифицированное структурное уравнение оставит:
.
Ввиду того, что второе уравнение системы (116) не изменилось, то его структурная форма, найденная из системы приведенных уравнений, та же:
у2 = - y1 -8,3 х2..
В целом рассматриваемая система одновременных уравнений составит:
 |
,
у2 = -1 y1 -8,3 х2.
ДМНК является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений.
Поэтому в ряде компьютерных программ для решения системы одновременных уравнений рассматривается лишь ДМНК.
Дальнейшим развитием ДМНК является трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК), пригодный для оценивания всех видов уравнения структурной формы модели.
Методы максимального правдоподобия рассматриваются как наиболее общие для оценивания сверхидентифицируемых уравнений.
Однако эти методы требуют достаточно сложных вычислительных процедур и поэтому этот метод был вытеснен ДМНК.
ЛЕКЦИЯ 14